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Pr. A. SOULAYMANICours Statistique 20051 Fluctuations de léchantillonnage Léchantillonnage & Ses Fluctuations.

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1 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Léchantillonnage & Ses Fluctuations

2 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Généralités Recensement Population Echantillonnage Tous les sujets de la population sont « examinés » Une partie des sujets de la population sont « examinés » Supposons une population infiniment grande sur laquelle on veut évaluer la fréquence ou la proportion dun caractère.

3 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Recensement = vérité linformation que lon désire est disponible pour tous les individus de la population étudiée. Échantillon = estimation de la vérité linformation nest disponible que pour un sous-ensemble des individus de la population étudiée.

4 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage I- Léchantillon

5 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Léchantillon en lui-même nest pas intéressant, Plusieurs échantillons peuvent être constitués En général, on procède à ce quon appelle échantillonnage. Léchantillon est donc un groupe restreint de la population dont il est issu. Pop ce sont les conclusions sur la population que lon peut tirer de son observation qui en font lintérêt : Inférence.

6 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Il sagit là, dun tirage non aléatoire ou biaisé. Cet échantillon est dit non représentatif si au cours du tirage, on procède à un choix préalable ou à une sélection. Pop Les conclusions sur la population ne peuvent pas être tirer de lobservation de tels échantillons. Tirage Biaisé Echantillon non représentatif

7 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Pour que léchantillon soit représentatif, il faut que tous les individus de la population aient la même chance dêtre tirés. Ceci peut être obtenu par un brassage adéquat et convenable des individus et permet de tirer véritablement au hasard un échantillon représentatif. Tirage Aléatoire

8 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage En définitif, un échantillon représentatif est un échantillon issu de façon parfaitement aléatoire, non conditionné par un choix préalable ou sélection. Tirage parfaitement au hasard

9 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Un échantillon a pour but de représenter la population, donc être représentatif. En quelque sorte, léchantillon est un modèle pour la population. Il nest pas possible de déterminer si un échantillon est représentatif ou non. Un bon plan déchantillonnage peut cependant contribuer à éliminer des échantillons non représentatifs.

10 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Étapes à suivre Déterminer lobjectif de léchantillonnage Déterminer la condition recherchée Définir la population à vérifier Déterminer la taille de léchantillonnage Sélectionner les échantillons Effectuer les tests et évaluer les résultats Analyser les erreurs projetées Plans déchantillonnage statistique

11 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage II- Le Pari

12 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Considérons une population où la proportion théorique dun caractère donné est p th (p théorique). Population P théorique Tirage parfaitement au hasard Échantillon P observée.

13 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Population P théorique Échantillon P observée. Tirage parfaitement au hasard La proportion observée du caractère (sa fréquence) au niveau de léchantillon P obs nest pas obligatoirement identique à la proportion théorique au niveau de la population dont il est issu, même si léchantillon est représentatif. Elle peut prendre toutes les valeurs possibles comprise entre 0 et 1. Cest les fluctuations de léchantillonnage

14 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Exemple de Pari Population p théorique = 050 Échantillon p observée Tirage parfaitement au hasard En générale p obs fluctue autour de p th et on peut calculer la probabilité pour que p obs sorte dune certaine marge entourant p th. Considérons une population où la proportion théorique dun caractère donné est pth = 0,50 (p théorique).

15 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage on peut parier que la fréquence au niveau dun échantillon tiré au hasard de cette population sera comprise entre 40% et 60% (0.40 p obs. 0.60). - Quelle est la probabilité pour que notre pari soit juste ? (p ?) - Quel est le risque quon a pris en choisissant cet intervalle [ ] ? ( ?) et p présente la relation = 1 – p et p = 1 -. Une question simpose à ce niveau et peut poser de deux façons différentes mais complémentaires:

16 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Intervalle de pari Lintervalle de pari est défini par un écart e autour de pth. ; ainsi, lintervalle 40 à 60% autour de 50% est défini par e = 10%. La table de lécart réduit ( loi normale) ne peut être utilisée directement pour évaluer le risque du pari ; de ce fait, lécart e est transformé en écart réduit appelé écart réduit observé ou calculé tel que : 0,500,600,400 1 P th.

17 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Dans lexemple précédant, en supposant que leffectif de léchantillon est de 100, on aura :

18 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage La table de lécart réduit donne pour tout écart observé le risque qui lui est associé. Pour la valeur de 2 de notre exemple, il ny a pas de correspondance directe mais on peut remarquer que notre valeur est comprise entre deux risque : th = 1,96 < os. = 2 < th = 2,058

19 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Donc, lorsquon a parié sur lintervalle 40%-60% sur un échantillon de 100 tiré dune population pour laquelle la fréquence théorique est de 50%, on a 5% de chance de se tromper contre une probabilité de 95% de tomber sur cet intervalle par tirage au hasard. Sans chercher à interpoler,on prendra toujours la valeur la plus proche de 2 qui correspond dans ce cas à = 5% et p = 95%. th =1,96 < obs.=2 < th =2,058

20 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage En conclusion, lorsquon a parié sur lintervalle 40%- 60% sur un échantillon de 100 tiré dune population pour laquelle la fréquence théorique est de 50%, on a 5% de chance de se tromper contre une probabilité de 95% de tomber sur cet intervalle par tirage au hasard. Remarque : La table de lécart réduit ne peut être utilisée que si léchantillon est « grand ». Pour le calcul; on considère que léchantillon est « grand » si et seulement si Np 5 et N(1-p) 5.

21 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage III- Loi des Grands Nombres

22 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Avec une urne présentant une fréquence p th. = 50% ; on se propose destimer le risque derreur pour un même intervalle de pari [ ] mais pour des effectifs différents (N1=16 ; N 2 =100 et N 3 =400). Ne 160,1250,100,800, ,050,1020, ,0250,104<0,001

23 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique Fluctuations de léchantillonnage Ainsi, pour le même écart absolu (10%), on prend beaucoup plus de risques avec des petits échantillons. cest la loi des grands nombre Donc, lécart entre la composition de léchantillon et celle de la population a dautant moins de chance dêtre dépassé lorsque la taille de léchantillon est grande.


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