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Tests de comparaison de pourcentages Docteur Alexandrine Lambert > Faculté de Pharmacie.

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1 Tests de comparaison de pourcentages Docteur Alexandrine Lambert > Faculté de Pharmacie

2 Comparer deux pourcentages Pourcentage – Variable qualitative dichotomique (Présence/Absence, Malades/Non malades, Décès/Survie, …) – est le pourcentage (inconnu) dindividus présentant la caractéristique dans la population – est estimé par le pourcentage p observé sur un échantillon de taille n dont k individus présentent la caractéristique

3 Comparer deux pourcentages Comparaison de deux pourcentages dans le cas des grands échantillons. Comparaison dun pourcentage observé à un pourcentage théorique Comparaison de deux pourcentages observés – Échantillons indépendants – Échantillons appariés

4 Comparer deux pourcentages Comparaison de deux pourcentages dans le cas des grands échantillons. Comparaison dun pourcentage observé à un pourcentage théorique Comparaison de deux pourcentages observés – Échantillons indépendants – Échantillons appariés

5 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Problème : déterminer si un pourcentage observé p sur un échantillon de taille n est différent dune valeur théorique th Comparer à th Population (inconnu) Population de référence th (connu) Échantillon p

6 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Formuler une hypothèse – Hypothèse nulle H 0 = th où est le pourcentage de la population dont est issu léchantillon – Hypothèses alternatives H 1 Test bilatéral : th Test unilatéral à gauche ou à droite : th

7 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Fixer le risque α Choisir la statistique – Test du χ 2 de conformité (loi du X 2 ) – Test z (loi normale) Conditions dapplication : – n. th 5 et n.(1- th ) 5 (cas des grands échantillons)

8 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test du χ 2 de conformité Calculer la valeur χ 2 prise par la statistique du test – Tableau – Conditions dapplication : C 1 5 et C 2 5 – – Sous H 0 la statistique suit une loi du X 2 à 1 ddl Effectifs observésO 1 = n.pO 2 = n.(1-p)n Effectifs calculésC 1 = n. th C 2 = n.(1- th )n

9 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test du χ 2 de conformité Confronter à la valeur seuil – Lecture de la valeur seuil dans la table de la loi du 2 – Test bilatéral : on rejette H 0 au risque si En pratique, si = 5%, – Si : rejet de H 0 – Si : non rejet de H 0

10 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Exemple 1 – En France, 7% des personnes hospitalisées contractent une infection nosocomiale dans l'établissement où elles sont soignées. – Sur un échantillon de 250 personnes soignées à lhôpital H, 28 ont contracté une infection nosocomiale. – Le pourcentage observé sur léchantillon diffère-t-il de la référence nationale au risque α = 5% ?

11 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test du χ 2 : exemple 1 Données : Hypothèses :H 0 : = 0,07 ; H 1 : 0,07 Calcul – Conditions dapplication vérifiées : C 1 5 et C 2 5 –

12 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test du χ 2 : exemple 1 Lecture 3,84 : rejet de H 0 On montre, au risque 5%, une différence significative entre le pourcentage de personnes hospitalisées contractant une infection nosocomiale à lhôpital H et dans lensemble du pays (p < 0,01).

13 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test z Calculer la valeur z prise par la statistique Z Équivalence entre χ 2 et test z : χ 2 = z 2 χ 2 à 1 ddl est le carré dune loi normale centrée réduite Équivalent à C1 et C2 5 – – Sous H 0, Z suit une loi normale centrée réduite – Conditions dapplication : n. th 5 et n.(1- th ) 5

14 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test z Confronter z à la valeur critique z α – Test bilatéral : on rejette H 0 si |z| z α – Test unilatéral : si H 1 sécrit > th, on rejette H 0 si z z 2 α si H 1 sécrit < th, on rejette H 0 si z -z 2α Pour un même risque derreur, les valeurs seuil du 2 sont donc les carrés des valeurs seuil de z : 2 1, =(z ) 2 (3,84 =1,96 2 )

15 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test z : exemple 1 Données : Hypothèses :H 0 : = 0,07 ; H 1 : 0,07 Calcul – – Conditions dapplication vérifiées : 250 x 0,07 5 et 250 x 0,93 5

16 Comparer un pourcentage à une valeur théorique Test z : exemple 1 Lecture z = 2,60 z 0,05 =1,96 : rejet de H 0 Degré de signification lu dans la table : p < 0,01 (même conclusion que test précédent)

17 Comparer deux pourcentages Comparaison de deux pourcentages dans le cas des grands échantillons. Comparaison dun pourcentage observé à un pourcentage théorique Comparaison de deux pourcentages observés – Échantillons indépendants – Échantillons appariés

18 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Problème : comparer 2 proportions (p 1 et p 2 ) dans 2 groupes indépendants de tailles n 1 et n 2 Comparer 1 à 2 Population 1 Échantillon p 1 Population 2 Échantillon p 2

19 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Formuler une hypothèse – Hypothèse nulle H 0 Les 2 échantillons sont issus de la même population ayant comme pourcentage 0 1 = 2 (= 0 ) où 1 et 2 pourcentages de la population dont sont issus les échantillons 1 et 2 – Hypothèses alternatives H 1 Test bilatéral : 1 2 Test unilatéral : 1 2

20 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Fixer le risque α Choisir la statistique : – Test du χ 2 (loi du χ 2 ) – Test z (loi normale) Conditions dapplication : – n et n 1.(1- 0 ) 5 – n et n 1.(1- 0 ) 5

21 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test du χ 2 Calculer la valeur χ 2 prise par la statistique – Tableau de contingence (tableau à 4 cases) – Conditions dapplication : C ij 5 – – Sous H O la statistique suit une loi du X 2 à 1 ddl Effectifs calculés sous H 0 :

22 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test du χ 2 : Remarques Dans le cas des tableaux de contingence à 4 cases, il est possible dutiliser la correction de continuité, surtout lorsque les valeurs attendues sont faibles (en pratique C ij < 5) Petits échantillons : test exact de Fisher (hors programme)

23 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test du χ 2 Confronter à la valeur critique – Lecture de la valeur seuil dans la table – Test bilatéral : Si : rejet de H 0 Si : non rejet de H 0

24 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Exemple 2 – On désire comparer lefficacité de deux traitements T1 et T2 sur 100 patients atteints dune maladie M. – On tire au sort 2 deux groupes de 50 patients, un groupe est soumis à T1, le second à T2. – Le pourcentage de guérison chez les patients soumis à T1 est de 30%, chez ceux soumis à T2 de 40%. – Le taux de guérison est-il différent entre les 2 traitements ?

25 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test du χ 2 : exemple 2 Données : Hypothèses : H 0 : 1 = 2 ; H 1 : 1 2 Calcul – Conditions dapplication vérifiées : C ij 5 –

26 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test du χ 2 : exemple 2 Lecture 3,84 : H 0 acceptable. On ne met pas en évidence, au risque 5%, de différence significative entre les taux de guérison avec les 2 traitements

27 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test z Calculer la valeur z prise par la statistique Z – – p 0 est l'estimation de la proportion commune π 0 – Z suit une loi normale centrée réduite – Conditions dapplication : n 1. π 0 5 et n 1.(1- π 0 ) 5 n 2. π 0 5 et n 2.(1- π 0 ) 5 χ 2 = (z) 2 C ij 5 Х 2 à 1 ddl est le carré dune loi normale centrée réduite avec

28 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test z Confronter z à la valeur critique z α – Test bilatéral : on rejette H 0 si |z| z α – Test unilatéral : si H 1 sécrit π 1 > π 2, on rejette H 0 si z z 2 α si H 1 sécrit π 1 < π 2, on rejette H 0 si z -z 2α

29 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test z : exemple 2 Données : Hypothèses : H 0 : 1 = 2 ; H 1 : 1 2 Calcul – Conditions dapplication vérifiées : 50 x 0,35 5 et 50 x 0,65 5

30 Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants - Test z : exemple 2 Lecture z = 1,05 < z 0,05 = 1,96 : H 0 acceptable (Même conclusion que le test précédent)

31 Comparer deux pourcentages Comparaison de deux pourcentages dans le cas des grands échantillons. Comparaison dun pourcentage observé à un pourcentage théorique Comparaison de deux pourcentages observés – Échantillons indépendants – Échantillons appariés

32 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Variable aléatoire qualitative dichotomique Cas des grands échantillons Individus de 2 échantillons liés – Présence dune caractéristique sur les mêmes sujets – Présence dune caractéristique chez des sujets appariés Problème : on sintéresse aux taux de guérison chez des sujets ayant reçus un traitement T1 et des sujets appariés ayant reçus un traitement T2 : on cherche à comparer p 1 et p 2 les taux de guérison avec T1 et T2.

33 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Formuler une hypothèse – Hypothèse nulle H 0 π 1 = π 2 où π 1 et π 2 pourcentages inconnus des 2 populations doù sont issus les échantillons – Hypothèses alternatives H 1 Test bilatéral : π 1 π 2 Test unilatéral : π 1 π 2

34 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Tableau des valeurs – Pour tenir compte de lappariement, il faut faire apparaître quels sont les sujets qui appartiennent aux mêmes paires. – Pour chaque paire dindividus, on peut observer, selon sil y a présence (+) ou absence (-) du caractère étudié, lune des 4 configurations possibles. Échantillon 1Échantillon 2 Nombre de paires ++ a +- b -+ c -- d

35 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - – Les paires concordantes napportent pas dinformation sur la liaison entre le traitement et la guérison. On doit donc se fonder sur la répartition des paires discordantes. – Si lhypothèse H 0 est vraie, il doit y avoir autant de paires discordantes du type +- que de type -+ – Tester H 0 revient donc à tester si le pourcentage observé de paires -+ est significativement différent de la valeur théorique 0,5.

36 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Fixer le risque α Choisir la statistique – Test du χ 2 de McNemar (loi du X 2 ) – Test z (loi normale) – Conditions dapplication

37 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test de McNemar (χ 2 ) Calculer la valeur χ 2 prise par la statistique – Conditions dapplication : – – La statistique suit une loi du X 2 à 1 ddl

38 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test de McNemar (χ 2 ) : remarques Il est possible dutiliser la correction de continuité, surtout lorsque les valeurs attendues sont faibles

39 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test de McNemar (χ 2 ) Confronter à la valeur critique – Lecture de la valeur seuil dans la table – Test bilatéral : on rejette H 0 si Si : rejet de H 0 Si : non rejet de H 0

40 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test z Calculer la valeur z prise par la statistique Z – – Z suit une loi normale centrée réduite – Conditions dapplication : b+c 10 χ 2 = (z) 2 Х 2 à 1 ddl est le carré dune loi normale centrée réduite

41 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test z Confronter z à la valeur critique z α – Test bilatéral : on rejette H 0 si |z| z α – Test unilatéral : si H 1 sécrit π 1 > π 2, on rejette H 0 si z z 2 α si H 1 sécrit π 1 < π 2, on rejette H 0 si z -z 2α

42 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Exemple 3 – On désire comparer lefficacité de deux traitements T 1 et T 2 chez 100 patients atteint dune maladie M. – Les deux traitements sont administrés aux patients. Lordre dadministration des 2 traitements est tiré au sort en ménageant une période dite de wash-out entre les 2 administrations. – Les résultats sont les suivants : – Le taux de guérison est-il différent entre les deux traitements ?

43 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test de McNemar : exemple 3 On cherche à comparer les pourcentages observés : Hypothèses : H 0 : π 1 = π 2 ; H 1 : π 1 π 2 Conditions dapplication vérifiées : nombre de paires discordantes = = 22 10

44 Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées - Test de McNemar : exemple 3 Lecture 3,84 : H 0 rejetée On montre, au risque 5%, une différence significative entre les taux de guérison avec les 2 traitements (p<0,05).

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