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Économétrie COURS 2 Les tests dhypothèses (I). Concepts Hypothèse statistique = lhypothèse qui est faite concernant le paramètre dune répartition ou la.

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1 Économétrie COURS 2 Les tests dhypothèses (I)

2 Concepts Hypothèse statistique = lhypothèse qui est faite concernant le paramètre dune répartition ou la lois de répartition suivie par certains variables aléatoires. Hypothèse nulle (H 0 ) = consiste toujours dans ladmission du caractère accidentel des différences, cest à dire, dans la supposition quil ny a pas de différences essentielles. Hypothèse alternative (H 1 ) = une théorie qui contredit lhypothèse nulle. Elle sera acceptée seulement quand il y a des preuves suffisantes, des évidences, pour établir quelle est vraie. Si lhypothèse nulle consiste dans laffirmation que le paramètre θ dune distribution est égale à une certain valeur θ 0 : lhypothèse alternative simple: θ = θ 1 lhypothèse alternative composée:

3 Concepts Le test statistique est utilisé comme critère dacceptation ou de rejection de lhypothèse nulle. La région critique (de rejet), R c = les valeurs numériques du test statistique pour les quelles lhypothèse nulle sera rejetée. est choisie de telle sorte que la probabilité quelle contienne le test statistique, quand lhypothèse nulle est vraie, sera égale à α, α étant petit (α = 0.01 etc.). Si le point définit par le vecteur de sondage x 1,x 2,…,x n tombe dans la région critique, R c, lhypothèse nulle H 0 est rejetée, et si le point tombe en dehors de la région critique, R c, lhypothèse nulle H 0 est acceptée. La région critique est délimitée par la valeur critique, C – le point de coupure dans son établissement.

4 Concepts Erreur de première espèce = lerreur quon fait en éliminant une hypothèse nulle, même si lhypothèse est vraie. Risque de première espèce (α) = la probabilité de commettre une erreur de première espèce. est nommé niveau ( seuil) de signification. Le niveau de confiance dun test statistique est (1-α) et, exprimé en pourcentage, (1-α)100, représente la probabilité qui garanti les résultats. Erreur de deuxième espèce = lerreur quon fait en acceptant une hypothèse nulle, même si lhypothèse est fausse. La probabilité (le risque) de commettre une erreur de deuxième espèce est égale à β. Le pouvoir de test statistique est (1-β).

5 Concepts Erreurs dans les tests dhypothèses α = P(rejet de H 0 ׀ H 0 est correcte) = P(erreur de première espèce) β= P(acceptation de H 0 ׀ H 0 est fausse) = P(erreur de deuxième espèce) DécisionHypothèse vraie dacceptationH0H0 H1H1 H0H0 Décision correcte (probabilité 1-α) Erreur de deuxième espèce (risque β) H1H1 Erreur de première espèce (risque α) Décision correcte (probabilité 1-β)

6 Concepts Le liaison entre les probabilités α et β

7 Concepts α et β quand la taille de léchantillon n' > n Comme,, avec laugmentation de la taille n de léchantillon, les écarts-type des distributions pour H 0 et H 1 deviennent plus petits et, évidemment, α, et aussi β, baissent.

8 Concepts On fait des hypothèses sur la population ou les populations qui sont échantillonnées (normalité etc.). On calcule après le test statistique et on détermine son valeur numérique, basé sur les données de léchantillon. On obtient les conclusions: lhypothèse nulle est soit acceptée, soit rejetée, ainsi: Si la valeur numérique de test statistique tombe dans la région critique (R c ), nous rejetons lhypothèse nulle et nous décidons que lhypothèse alternative est vraie. Cette décision est incorrecte seulement dans 100 α % cas; Si la valeur numérique de test statistique ne tombe pas dans la région critique (R c ), on accepte lhypothèse nulle H 0.

9 Concepts Lhypothèse alternative peut prendre une des formes suivantes (qui seront exemplifiées pour la vérification de légalité du paramètre la moyenne de la collectivité générale, μ, avec la valeur μ 0 ) test bilatéral: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 (μ μ 0 ) test unilatéral à droite: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ > μ 0 test unilatéral à gauche: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ < μ 0

10 Concepts μ μ μ a) b) c) Région critique pour a) test bilatéral; b) test unilatéral à gauche; c) test unilatéral à droite

11 Test dhypothèse sur la moyenne de la population générale (μ) pour échantillons de grande taille Lutilisation des échantillons de grande taille (n > 30) fait possible lapplication de la théorème central limite. Dans le cas de test bilatéral, les hypothèses sont: H 0 : μ = μ 0 (μ - μ 0 =0) H 1 : μ μ 0 (μ - μ 0 0) (cest à dire μ μ 0 ); Le test statistique calculé est: La région critique est donnée par: R c : z z α/2 La règle de décision est, donc: Nous rejetons lhypothèse H 0 si ou

12 Test dhypothèse sur la moyenne de la population générale (μ) pour échantillons de grande taille Exemple: On suppose quun fabricant de matériaux de construction vend ciment dans sacs qui doivent contenir 12 kg/sac. Pour détecter les éventuels écarts dans les deux sensés par rapport à cette quantité, ont été sélectés 100 sacs, pour lesquels ont été calculés, s x = 0,5 kg. Pour un niveau de signification α = 0,01 (la probabilité qui garanti les résultats: (1- α)100=99%), déterminez si lhypothèse nulle est acceptée, cest à dire que le poids des sacs est, en moyenne, égale à 12 kg. H 0 : μ = 12; H 1 : μ 12 ( μ 12). z α/2 =z 0,005 =2,576 La région critique: z z α/2 Parce que z = - 3,0 < - 2,576 on rejette lhypothèse nulle H 0 et on accepte lhypothèse alternative, cest à dire que le poids des sacs diffère, en moyenne, de 12 kg.

13 Test dhypothèse sur la moyenne de la population générale (μ) pour échantillons de grande taille Pour le test unilatéral à droite, les hypothèses sont: H 0 : μ = μ 0 (μ - μ 0 =0); H 1 : μ > μ 0 (μ - μ 0 >0). Le test statistique calculé est: La région critique est donnée par: R c : z > z α La règle de décision est: Nous rejetons lhypothèse H 0 si

14 Test dhypothèse sur la moyenne de la population générale (μ) pour échantillons de grande taille Pour le test unilatéral à gauche, les hypothèses sont: H 0 : μ = μ 0 (μ - μ 0 =0); H 1 : μ < μ 0 (μ - μ 0 <0). Le test statistique calculé est: La région critique est donnée par: R c : z < –z α La règle de décision est: Nous rejetons lhypothèse H 0 si

15 Test dhypothèse sur la différence entre deux moyennes pour échantillons de grande taille Les hypothèses statistiques à vérifier sont les suivants: 1. test bilatéral H 0 : (μ 1 - μ 2 ) = D H 1 : (μ 1 - μ 2 ) D [(μ 1 - μ 2 )>D ou (μ 1 - μ 2 ) D 3. test unilatéral à gauche H 0 : (μ 1 - μ 2 ) = D H 1 : (μ 1 - μ 2 ) < D La région critique est donnée par: 1. z z α/2 2. z> z α 3. z< - z α

16 Test dhypothèse sur la différence entre deux moyennes pour échantillons de grande taille Exemple: Le manager dun restaurant veut savoir si une campagne de publicité a déterminé laugmentation des revenus moyennes journaliers. Ainsi, ont été enregistrés les revenus 50 jours avant le développement de la campagne. Après le déroulement de la campagne et le passage dune période de 20 jours pour prendre effet la campagne, ont été enregistrés les revenus pour 30 jours. Ces deux échantillons permettront le test dhypothèse concernant leffet de la campagne sur le revenus. Par le traitement des données pour les deux échantillons on a résulte que: Avant la campagneAprès la campagne n 1 =50 joursn 2 =30 jours s 1 =2,15 mil. leis 2 =2,38 mil. lei Nous voulons savoir si le revenus ont augmenté (μ 2 > μ 1 ), donc, nous allons réaliser un test unilatéral à gauche: H 0 : μ 1 = μ 2 (μ 1 - μ 2 = 0) H 1 : μ 1 < μ 2 (μ 1 - μ 2 < 0)

17 Test dhypothèse sur la différence entre deux moyennes pour échantillons de grande taille αTest unilatéral à gauche Test unilatéral à droiteTest bilatéral 0,10 z < - 1,28 z > 1,28 z 1,645 0,05 z < - 1,645 z > 1,645 z 1,96 0,01 z < - 2,33 z > 2,33 z 2,576 Comme la valeur calculée nest pas plus petite que –z 0,05 = –1,645, il résulte que nous ne sommes pas dans la région critique. Les échantillons noffrent pas des preuves suffisantes (pour α = 0,05) pour le manager de restaurant de conclure que les revenus ont augmenté à cause de la campagne de publicité.


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