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L1 STE 1. 2 Echantillonnage – Estimation dun paramètre Extraction de n échantillons dune population P Si lon extrait plusieurs échantillons représentatifs.

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1 L1 STE 1

2 2 Echantillonnage – Estimation dun paramètre Extraction de n échantillons dune population P Si lon extrait plusieurs échantillons représentatifs de taille n fixée, les différences observées entre les résultats obtenus sont dues à des fluctuations déchantillonnage. A partir dun échantillon, on na donc pas de certitudes mais des estimations de paramètres. L'estimation d'un paramètre peut être faite - par un seul nombre: estimation ponctuelle - par 2 nombres entre lesquels le paramètre peut se trouver: estimation par intervalle

3 3 Echantillonnage – Estimation dun paramètre Estimation ponctuelle dune moyenne Estimateur sans biais x barre Ecart type de la moyenne

4 4 Echantillonnage – Estimation dun paramètre Pour améliorer la connaissance de la moyenne, il faut augmenter la taille de léchantillon

5 5 Intervalle de confiance de la moyenne Cas des grands échantillons (variance connue): Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne et décart type. Echantillonnage – Estimation dun paramètre

6 6 Exemple: 45 hommes de Neandertal males adultes à 95% de confiance

7 7 Echantillonnage – Estimation dun paramètre

8 8 Cas des petits échantillons: Quand n<30 ou quand la variance est inconnue, on prend la loi de Student (mais nous verrons ça lannée prochaine!). Echantillonnage – Estimation dun paramètre Intervalle de confiance de la moyenne

9 9 L1 STE

10 10 On sait quun homme de Neandertal mesure en moyenne 165 cm. Sur un site on trouve 40 hommes avec une moyenne de 167 et un écart type de 8 cm (e.t. échantillon). Comparaison de la moyenne avec la valeur théorique de 165 cm Quel est le problème…? Théorie de la statistique de décision Possibilités: Moyenne très élevée: Nous pourrons être amenés à croire que ces hommes ont des tailles différentes de 165 cm Moyenne faiblement plus élevée: on ne pourra pas conclure si cest significativement supérieur à la norme ou si cest leffet du hasard.

11 11 Question: à partir de quelle limite pouvons nous raisonnablement conclure à une différence? H 0 : =165 (il ny pas de différence) H 1 : 165 Calcul de On mesure en fait 167 +/ à 95% de confiance, ce qui nest pas différent de 165 cm! Théorie de la statistique de décision

12 12 Les deux risques derreur dans un test. Erreur de 1 ere espèce Erreur de 2 nde espèce (compliquée) 1- A priori on ne sait pas à quel type derreur on sera confronté: Le résultat de léchantillon a révélé 167 cm probablement par pur hasard. On conclue que la moyenne pourrait être 165 cm alors quen fait elle est mesurée à 167 cm. Théorie de la statistique de décision

13 13 H 0 : hypothèse nulle ou principale Ex: Les haches de type A présentent les mêmes teneurs en Sn que les haches de type B. H 1 : hypothèse alternative ou contraire … Soumission à une épreuve de vérité! Conclusion : différence attribuable aux fluctuations déchantillonnage??? Théorie de la statistique de décision

14 14 Niveau de signification : un peu arbitraire… significatif : 0.05 hautement significatif : 0.01 très hautement significatif : Test bilatéral / unilatéral : bilatéral : différence sans se préoccuper du sens. Unilatéral : > ou <. Zone de rejet dun seul coté de la distribution de probabilité de référence. Echantillons indépendants Indépendants : aucune influence du 1 er ech sur le 2 nd. Théorie de la statistique de décision

15 15 Comparaison des moyennes de 2 grands échantillons indépendants (n 1 et n 2 >30): Comparaison de deux moyennes – grands échantillons - Deux échantillons qui suivent des lois normales: 1, 2 1 ; 2, 2 2 Si H 0 est vraie, Z c suit une loi normale N(0,1)

16 16 H 1 bilatéral Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

17 17 H 1 unilatéral Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

18 18 H 1 unilatéral Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

19 19 Pour résumer: Maintenant un exemple... Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

20 20 Taille des silex sur deux sites Les moyennes de ces deux échantillons prélevés indépendamment lun de lautre diffèrent-elles dune façon hautement significative? Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

21 21 n 1 et n 2 grands -> test sur la loi normale H 0 : a = b H 1 : a b (bilatéral) = 0.01, Z /2 = 2.57 Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

22 22 H 0 rejetée au seuil de signification de 1% Comparaison de deux moyennes – grands échantillons -

23 23 Comparaison dune moyenne empirique à une moyenne théorique Même principe que précédemment (quand n est grand): que lon teste sur la loi normale N(0,1) H 0 : = 0


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