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ANOVA à un facteur (Rehailia) Objet : Comparaison de plusieurs moyennes de populations gaussiennes.

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1 ANOVA à un facteur (Rehailia) Objet : Comparaison de plusieurs moyennes de populations gaussiennes

2 Aspect pratique On dispose dun tableau de données de la forme :.1..2.…..i..…...I. X 11 : : X 1n1 X 21 : X 2n2 …. : X i1 : X ij : X in i …..X I1 : X InI

3 Terminologie Chacune des colonnes du tableau précédent est assimilée à un groupe expérimental. La ligne 1 du tableau est constitué de I entrées appelées traitements ou variantes. Lensemble des traitements constitue un facteur. On dit quon a un problème dANOVA à un facteur constitué de I niveaux

4 Conditions théoriques On suppose que chaque groupe (colonne) est un échantillon aléatoire prélevé dune population gaussienne de moyenne i. Les I groupes sont indépendants Les variances des populations mères ( i 2 ) égales (homoscédasticité).

5 Modèle théorique Les conditions précédentes peuvent regroupées dans une écrite mathématique concise, appelée modèle, sous la forme : Modèle 1. X ij = i + ij où i = moyenne de la population i et ij = erreur de la jème observation du groupe i

6 Ecriture des hypothèses avec le modèle 1 H 0 : les I moyennes (de populations) sont égales, i.e. H 0 : 1 = 2 = … = I. contre H1 : au moins une moyenne est différentes des autres moyennes.

7 Modèle 2 - X ij = + i + ij où = moyenne commune (à toutes les populations) i = effet du traitement i et ij = erreur de la j ème observation du groupe i

8 Ecriture des hypothèses dans le modèle 2 H 0 : 1 = 2 = … = I = 0 (pas deffet de traitement) contre H 1 : au moins un i 0 (au moins un traitement produit un effet).

9 Comment tester H 0 contre H 1 ? Idée fausse : faire une série de tests t de Student de comparaisons de moyennes 2 à 2 et en faire la synthèse. Pourquoi ? - Inflation du risque de 1 ère espèce. - risque de conclusions contradictoires.

10 Le test F de Fisher Utiliser différents estimateurs de la variance pour comparer les moyennes : - Variance inter-groupes et - Variance intra-groupes

11 Dans quel cas peut rejeter H 0 plus facilement ? Pourquoi ? Ensemble 2 de données ABC ,5 8,5 9,5 9,8 10,1 98,59,8 ABC ,5 8,5 15,5 5,2 9,8 14,4 98,59,8 Ensemble 1 de données

12 Estimations des différents paramètres est estimé par i est estimé par

13 Estimation de la variance 2 Au moins 3 façons de le faire. S.C.E. inter-groupes = S.C.E. intra-groupes = S.C.E.totale = De plus, on a SCE inter + SCE intra = SCE totale

14 Table dANOVA On regroupe toutes les sommes des carrés des écarts précédentes avec leurs degrés de liberté respectifs dans un tableau appelé table dANOVA.

15 Table dANOVA Sourced.d.l.S.C.E.C.M.EF observé Inter- gps I – 1SCE inter CME inter = F= Intra- gps N – ISCE intra CME intra = TotaleN - 1SCE totale

16 Règles de décision Au seuil rejeter H 0 si F (table) > C (lue dans la table de la loi F de Fisher-Snedecor) Avec un logiciel rejeter H 0 si : a-utilisateur > p-value.

17 Discussion des conditions théoriques Normalité : test F en général robuste. Indépendance : veiller à une bonne planification de lexpérience. Homoscédasticité : test F sensible à cette condition surtout lorsque le plan nest pas équilibré et quil y a peu dobservations.

18 Et après ? Lorsque H 0 est rejetée il reste une série de questions sans réponse puisque H 1 dit seulement quau moins des moyennes diffère des autres. Il faut faire alors des comparaisons à posteriori des moyennes 2 à 2. Plusieurs méthodes existent (HSD, Tukey, Scheffé …etc). Aucune nest exacte. Vous devez les utiliser seulement pour étoffer votre discussion.


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