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1 L1 STE. Test du χ2 dadéquation/conformité: Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie.

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1 1 L1 STE

2 Test du χ2 dadéquation/conformité: Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie a priori ou à une population donnée. Test du χ2 dhomogénéité: Il s'agit alors de se demander si deux listes de nombres de même effectif peuvent dériver de la même loi de probabilité. Principe Lanalyse se fait à laide dun tableau de corrélation (variables quantitatives regroupées en classes) ou (plus souvent) de contingence (variables qualitatives). Il ne concerne que des données discrètes. On calcule les fréquences attendues de chacune des cases puis les écarts entre celles-ci et les fréquences observées. Test du χ 2

3 Tableau de contingence: les MnMs transgéniques Préparation des données. Test du χ 2

4 Les tableaux de corrélation: le territoire et la masse des marsupiaux Préparation des données. Test du χ 2

5 5 Si Z 1, Z 2, Z n sont des variables aléatoires normales centrées réduites et indépendantes entres elles, la somme des carrées de ces varaibles aléatoires obéit à la loi du 2 à degrés de libertés La loi du Khi carré: 2

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7 7 En fait, les calculs sont fastidueux -> TABLES La loi du Khi carré: 2

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9 Pour calculer la statistique χ 2, on a besoin des: - fréquences absolues observées - fréquences absolues attendues Remarque importante: les fréquences du tableau sont des fréquences absolues observées, jamais des fréquences relatives! Conformité. Test du χ 2

10 Les fréquences attendues (théoriques) sont nécessaires 1. Si on connaît déjà (grâce à une théorie) les fréquences attendues théoriques, on les utilise directement. Exemple: l'hérédité des pois de Mendel: Conformité. Test du χ 2

11 Test du χ 2 H 0 : Il ny a pas de relation entre les variables… χ 2 = 0 H 1 : Il y a une relation entre les variables… χ 2 > 0 Conformité. Test du χ 2

12 où, si N est la fréquence totale Si 2 = 0, fréq théoriques identiques aux fréq. obs., si 2 > 0, elles ne sont pas exactement identiques. H 0 : 2 =0 H 1 : 2 >0 Conformité. Test du χ 2

13 Un exemple Le tableau suivant montre la distribution des unités 0, 1,2, …, 9 dune table de nombres aléatoires comportant 250 nombres. Est-ce que la distribution observée est significativement différente de la distribution théorique? Unités Fréq Obs Fréq Est.25 Solution: critique à = 10-1 = 9 degrés de liberté = 16, >16,92. Cette table de nombre aléatoire est suspecte. Conformité. Test du χ 2

14 Pourquoi 9 degrés de liberté dans lexemple précédent? = k -1 si les fréquences théoriques peuvent être calculées sans avoir à estimer les paramètres de la population à partir des statistiques déchantillon. = k – 1 – m si les fréquences théoriques peuvent être calculées en nestimant que m paramètres de la population à partir des statistiques déchantillon. Idéalement, au moins 5 occurrences par case! Degré de liberté. Test du χ 2

15 16/01/2014Statistiques15 Degré de liberté. Test du χ 2

16 16/01/2014Statistiques16 Homogénéité. Test du χ 2

17 16/01/2014Statistiques17 Homogénéité. Test du χ 2

18 GuéritNe guérit pasTotal Groupe A (serum) Groupe B (sans sérum) Total Fréquences observées GuéritNe guérit pasTotal Groupe A (serum) Groupe B (sans sérum) Total Fréquences attendues sous H 0 Impossibilité de rejeter H 0 Homogénéité. Test du χ 2

19 Exemple Tableau de contingence du nombre de joueurs de hockey de différentes nationalités utilisant différentes marques de bâtons de hockey. Le choix de la marque du bâton de hockey que les joueurs utilisent est-il influencé par lorigine du joueur? Étape 1 : Question biologique Homogénéité. Test du χ 2

20 H 0 : il ny a pas de préférence de marque de bâton de hockey chez les joueurs de différentes nationalités (donc: la variable "marque de bâton" et la variable "nationalité" sont indépendantes) : χ 2 = 0 H 1 : les joueurs de différentes nationalités ont des préférences différentes au niveau de la marque de bâton de hockey quils utilisent : χ 2 > 0 Étape 3 : Test statistique utilisé données sous forme de fréquences indépendance des observations fréquences distribuées normalement Étape 4: Conditions dapplication Étape 2: Déclaration des hypothèses Homogénéité. Test du χ 2

21 f th(i,j) = (n i × n j )/N exemple, la première cellule : Calcul des fréquences théoriques: Homogénéité. Test du χ 2

22 Étape 5 : Distribution de la variable auxiliaire Si H 0 est vraie, la statistique χ 2 calc suit une distribution de χ 2 à υ = (l – 1) × (c – 1) = (5 – 1) × (6 –1) = 20 d.d.l. On rejette H 0 si χ 2 calc χ 2 (0,05, 20) = 31,41 Étape 7: Calcul du test Étape 8: Décision statistique On ne rejette pas H 0 au seuil α = 0,05 car si χ 2 calc < χ 2 (0,05, 20) Les joueurs de différentes nationalités nutilisent pas des bâtons de hockey de marques différentes car les compagnies font la promotion de leurs bâtons avec la même intensité dans les pays étudiés. Étape 6 : Règle de décision Étape 9: Interprétation biologique Homogénéité. Test du χ 2


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