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1 Licence 3 – Outils mathématiques & statistiques.

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1 1 Licence 3 – Outils mathématiques & statistiques

2 2 Distribution spatiale

3 3 Analyse des propriétés spatiales de lensemble des points. Deux approches: Densité en utilisant lanalyse Quadrat. Basée sur la fréquence de distribution ou sur la densité de points dans une grille. –Rapport variance / moyenne –Comparaison avec des distributions de fréquences théoriques. Analyse du plus proche voisin (Nearest Neighbor Analysis) basée sur les distances entre les points. Distribution spatiale

4 Census Plusieurs façons de construire les quadrats. Attention à leurs tailles! Echantillonnage Calcul des fréquences Analyse quadrat

5 5 Construire une grille dont les éléments ont pour largeur : Traiter chaque cellule comme une observation et compter le nombre de points dans chacune pour créer la variable X. Calculer la variance, la moyenne de X et le rapport variance / moyenne. Pour une distribution uniforme la variance est 0 –Donc le rapport variance/moyenne devrait être proche de 0. Pour une distribution aléatoire, la variance et la moyenne sont identiques (loi de Poisson). –Donc le rapport variance/moyenne devrait être proche de 1. Pour une distribution de type cluster, la variance est grande. –Donc le rapport variance/moyenne devrait être supérieur à 1. A = aire P = nbre de pts Analyse quadrat

6 6 N = nombre de Quadrats = 10 RANDOM UNIFORME CLUSTER Formule de la variance 2 random x cluster x uniforme x Analyse quadrat

7 7 On compare les fréquences observées dans les quadrats avec les fréquences attendues qui seraient générées par: –Un modèle aléatoire (Loi de Poisson) –Un modèle de type cluster –Un modèle uniforme (e.g. chaque cellule possède P/Q points) Deux possibilités pour comparer les deux fréquences de distribution : 2, Kolmogorov-Smirnov Analyse quadrat

8 En moyenne 4 points par cellule ( ). Variance = 4.59 Analyse quadrat

9 FreqObs, OExp, E|O-E||O-E| |O E| 2 /E Somme25 χ 2 =9.3 9 FreqObs, OExp, E|O-E||O-E| |O E| 2 /E 0-112,31,30, ,63,41, ,83,81,64 6 et +75,31,70,54 Somme25 χ 2 =4,3 Le nombre de degrés de liberté dans ce cas = =9, parce que il y a 11 classes de fréquence. Le total est connu ( 1DF), Et la moyenne a été estimée à partir de léchantillon ( 1DF). χ ,9 = 16.9, donc, avec 9.3 on ne peut pas rejeter H 0. Attention cependant, moins de 5 observations dans certaines classes! On regroupe! χ ,2 = 6, donc, avec 4,3 on ne peut toujours pas rejeter H 0. Analyse quadrat

10 K est comparé avec des valeurs critiques issues de tables Kolmogorov test H 0 : les données sajustent au modèle H 1 : les données ne sajustent pas au modèle Analyse quadrat

11

12 Faiblesses de lanalyse Quadrat Les résultats peuvent dépendre la taille et de lorientation des quadrats! –Il faut tester differentes tailles (ou orientations) Analyse quadrat

13 Faiblesses de lanalyse Quadrat Cest une mesure de la dispersion et non du pattern parce quelle est basée sur la densité et non sur leur relation les uns avec les autres. –Par exemple lanalyse Quadrat ne peut pas distinguer ces deux patterns. 13 Analyse quadrat

14 Utilise la distance entre les points. Compare la distance moyenne observée entre chaque point et son plus proche voisin avec la distance moyenne attendue si la distribution était aléatoire. NNI=Dist. moyenne Obs / Dist. moyenne attendue Pour aléatoire, NNI = 1 Pour cluster, NNI = 0 Pour uniforme, NNI = Nous pouvons utiliser un test sur la loi normale pour voir si la distribution observée est différente de ce que produirait le hasard. Z = Dist Moy Obs - Dist. Moy Exp. Ecart type Analyse du plus proche voisin

15 15 (Standard error) Test Analyse du plus proche voisin

16 16 Analyse du plus proche voisin

17 17 Calculer la distance (euclidienne) de chaque point a son plus proche voisin, en calculant lhypothénuse du triangle SiteXYNNdNN A1.78.7B2.79 B4.37.7C0.98 C5.27.3B0.98 D6.79.3C2.50 E5.06.0C1.32 F6.51.7E Distance moyenne obs Analyse du plus proche voisin

18 Parfaitement groupé Totalement aléatoire Parfaitement dispersé Plus dispersé qualéatoire Plus groupé qualéatoire Analyse du plus proche voisin

19 NNI Mean distance NNI Mean distance NNI Mean distance Aléatoire UniformeGroupé Z = Z = Z = Analyse du plus proche voisin

20 20 Avantages –NNI prend en compte des distances –Pas de probleme concernant la taille des quadrats comme précédemment. Inconvénients –Attention aux effets de bord (attention à la taille et à la forme) –Fondamentalement basée sur la distance moyenne –On ne voit pas les variations locales (p.e. groupé localement mais pas partout) Ajustement pour les effets de bord possible mais cela ne résout pas tous les problèmes. Des alternatives existent. Elles sont basées sur la distribution de toutes les distances… Analyse du plus proche voisin


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