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Pr. A. SOULAYMANICours Statistique 20051 TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS.

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1 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS

2 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS I- Position du Problème

3 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Généralités Population Supposons une population infiniment grande pour laquelle la moyenne dun caractère quantitatif X est = 0. On dispose dun ou de plusieurs échantillons de moyennes m1, m2,….mi… ;mk. m1m1 m2m2 mkmk mimi Les observations mi sont elles compatibles avec lhypothèse que dans la population ?

4 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Trois problèmes peuvent être posés dans ces conditions : La comparaison dune moyenne observée à une moyenne théorique, Lestimation dune moyenne théorique à partir dune moyenne observée et La comparaison des moyennes observées deux à deux.

5 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS II- Estimation statistique

6 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Soit X, une variable aléatoire quantitative de moyenne et de variance 2. Ces paramètres sont ceux dune population de taille infini et peuvent être indéterminés. m Tirage parfaitement au hasard dun échantillon de taille N

7 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS La moyenne de la variable aléatoire X de cet échantillon est m de sorte que: La quantité S 2 est un bon estimateur de 2 au niveau de léchantillon; telle que:

8 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Population m1m1 m2m2 …… mkmk En tirant plusieurs échantillon de la population, les moyennes observées sont m1, m2,….mk. La distribution de ces différentes moyennes est appelée distribution déchantillonnage de la moyenne.

9 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Il est évident, et lexpérience le montre que ces différentes moyennes ne sont pas identiques. Les observations m i varient, et ses variations expriment les fluctuations de léchantillonnage. Autrement dit, la distribution des moyennes des différents échantillons constitue une nouvelle variable aléatoire, sur laquelle on peut appliquer les règles de calcul des variables aléatoires.. m = {m 1, m 2,……..m 3,……….m k }

10 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Les Différents paramètres de cette nouvelle distribution m = {m1, m2,……..m3,……….mk} sont: La moyenne théorique de la distribution des moyennes est égale à E(m) =. Les différentes moyennes observées m1, m2…mi…mk sont regroupées autour de cette moyenne théorique. La variance de la moyenne 2 m et son écart type m de la nouvelle distribution sont:

11 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Il est clair que plus la taille N des échantillons est grande, plus les différentes moyennes observées m1, m2…mi…mk sont regroupées de manière très proche autour de la moyenne théorique. Plus N augmente Plus la variance diminue

12 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS La Loi de probabilité de la distribution des moyennes La forme de la distribution des moyennes ne peut être connue que si lon connaît la distribution de la variable aléatoire X dans la population. Dune manière générale, si le caractère étudié (V.A X) obéit à une loi de Laplace Gauss dans la population, alors la distribution des moyennes m i suit également une loi normale η(,s m ) ou encore une Loi normale centrée réduite (0,1).

13 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Toutefois, on peut admettre que lorsque leffectif N tend vers linfini, la loi de probabilité de la distribution de m suit une loi normale quelque soit la distribution de X dans la population. m1m1 mimi mkmk m m En pratique, on considère une distribution des moyennes normale à partir de N>=30

14 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Intervention de la loi de student: Lorsque la taille de léchantillon est petite, N<30; la loi de probabilité de la distribution des moyennes m i pour une variable aléatoire X distribuée normalement, ne suit pas une loi normale, mais une loi de student t à (N-1) degré de liberté, centrée réduite, de sorte que: S x est lécart - type Estimé de la Variable aléatoire X

15 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Le remplacement de par son estimateur S a pour effet de modifier les calculs et les rendres sans biais. La forme de la loi montre que dès que leffectif augment, la loi de student tend vers une loi normale centrée réduite (0,1). En pratique, on considère que la loi de Student tend vers une loi Normale centrée réduite si N>=30

16 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS En résumé, on distingue 4 situations selon la distribution de X: X suit une loi normale dans la population X ne suit pas une loi normale dans la population Grand Échantillon N30 La distribution des moyennes suit une loi normale La distribution des moyennes suit une loi approximativement normale Petit Échantillon N<30 La distribution des moyennes suit une loi de student Loi Indéterminée !!!!!!!!!!!???

17 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III- Comparaison dune moyenne observée m à une moyenne théorique

18 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Échantillon (N) m Tirage parfaitement au hasard Soit un échantillon E de N individus sur lequel on mesure la valeur dune variable aléatoire continue X. Population de taille infini De moyenne On cherche à savoir si la moyenne de x au niveau de léchantillon est compatible à celle de la population?.

19 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS En dautre termes, le problème peut être posé de 3 manières: Sur le critère de la VA X, léchantillon E est-il issu de la population P? (Situation bilatérale) Léchantillon E provient-il dune population P dont la moyenne de la VA X est supérieure à celle de la population P? (Situation unilatérale) Léchantillon E provient-il dune population P dont la moyenne de la VA X est inférieure à celle de la population P? (Situation unilatérale)

20 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS m Situation bilatérale m > Situation unilatérale m < Situation unilatérale En situation Unilatérale; la signification est testée à 10% En situation bilatérale; la signification est testée à 5%

21 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Dans la suite du résonnement, on pose les notations suivantes: m : moyenne de X observée ou calculée sur léchantillon. : moyenne théorique de X au niveau de la population de référence P. 2 : Variance théorique de X dans la population. s 2 : Estimateur sans biais de la variance de X dans la population.

22 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III-1. Cas de petits échantillons: (N<30) III-1-1. Si la distribution de la VA X suit une loi normale et la variance est inconnue: Dans ce cas, on utilise une loi de student t à N-1 ddl de sorte que:

23 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS La valeur de t calculé est confrontée à celle de t lue sur la table théorique à (N-1) ddl et au seuil choisi selon que le test soit bilatéral (5%) ou unilatéral (10%). t suit une loi de student à N-1 ddl

24 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Exemple: On sait que la concentration plasmatique du calcium du sujet sain est =2,5 mol/mt Sur un échantillon de 18 personnes, on a trouvé une moyenne m de 3,2 mole/ml et un écart type estimé S x = 1,1 mmole/ml. Peut-on conclure que la calcémie moyenne des 18 personnes soit augmentée? NB: On suppose que la moyenne m de la calcémie, de la population dont léchantillon est issu, suit une loi binomiale.

25 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Réponse: Choix du Test et vérification des conditions de son application Léchantillon est Petit N<30, mais la VA « Calcémie » suit une loi normale dans la population dont léchantillon est issu. Application du Test: Suit une loi de student à 17 ddl (18-1)

26 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Définir H 0 et H 1 H 0 : On considère que. La moyenne de la calcémie au niveau de léchantillon ne diffère pas significativement de la moyenne des sujets sains. H 1 : On considère que. La moyenne de la calcémie au niveau de léchantillon est supérieure à la moyenne des sujets sains.

27 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Fixer la taille du test et définir la règle de décision Puisquon veut savoir si la moyenne au niveau de léchantillon est supérieure à celle de la population, on est dans une situation unilatérale. La valeur critique (ou limite) en situation bilatérale est t (5% / 17ddl) = 2,11. La valeur critique (ou limite) en situation unilatérale est t (10% / 17ddl) = 1,74. La valeur de t calculée va être comparée à 1,74 puisquon est en situation Unilatérale

28 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Calcul de t observée La valeur de t calculée = 2,7 est supérieure à la valeur de la table t (10% / 17ddl) = 1,74. La valeur de t calculée va être comparée à 1,74 puisquon est en situation Unilatérale Application de la règle de décision On rejette H 0 au risque de 5% & on retient H 1 on conclu que la moyenne au niveau de léchantillon est supérieure à celle de la population de référence.

29 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III-1. Cas de petits échantillons (Suite): (N<30) III-1-2. Si la distribution de la VA X est inconnue: Dans ces conditions (cf Tableau) il nexiste pas de test non paramétrique pour comparer les moyennes!!!? On utilise alors la médiane. On utilise alors la médiane en comparant la proportion des sujets à droite de la médiane de la population (ou à gauche) par rapport à 50%.

30 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Exemple: Score de la douleur sur 15 patients traité a avec un nouvel morphinique. La médiane de la population de référence traité par un ancien médicament est de 4. Ce score varie de 0 (aucune douleur) à 10 (douleur intense). Les résultats obtenus sont repectivement: 0,0,1,1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,8,8 Dans léchantillon le % des patient ayant un score <4 est de 60% (9/15) Solution:

31 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Le problème revient donc à la comparaison dune proportion observée (60%) à une proportion théorique au niveau de la population (50%) On doit donc utiliser un test de conformité pour comparer une fréquence observée à une fréquence théorique. (cf. Chap. Manipulation des fréquences)

32 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III-2. Cas des grands échantillons :(N30) Dans ce cas, quelque soit la distribution de la VA X dans la population, on suppose que la distribution des moyenne m suit une loi normale despérance et décart type m.

33 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Cet écart suit une loi normale centrée et réduite (0,1). Le test consiste donc à calculer lécart réduit et le confronter à lécart théorique au niveau de la table de lécart réduit.

34 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS La valeur de lécart calculé est confrontée à celle de lue sur la table théorique au seuil choisi selon que le test soit bilatéral (5%) ou unilatéral (10%).

35 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS IV- Estimation dune moyenne théorique à partir dune moyenne observée m

36 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Intervalle de confiance dune moyenne théorique

37 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III-1. Cas de petits échantillons : (N<30) Dans ces conditions, il est nécessaire de sassurer de la normalité de la distribution des moyennes. Il est également, obligatoire, de remplacer la variance 2 par son estimation S 2. On utilisera pour le calcul statistique le t de student.

38 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS En pratique, le calcul se fait de la manière suivante:

39 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS III-1. Cas des grands échantillons : (N30) Dans ces conditions, on suppose que la variance est connue, et que léchantillon est assez grand pour considérer une distribution de moyenne normale. On utilisera pour le calcul statistique le de lécart centré réduit.

40 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS En pratique, le calcul se fait de la manière suivante:

41 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Lintervalle de confiance de la moyenne a (1- )% chance de recouvrir la moyenne théorique de la population à partir de laquelle léchantillon de moyenne m a été issu. Une meilleure estimation de lintervalle de confiance de la moyenne est obtenue en utilisant lestimateur sans biais de la variance S 2 pour le calcul au lieu de la variance 2.

42 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS V- Comparaison de deux moyennes observées m 1 & m 2

43 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Population m1m1 m2m2 On dispose de 2 Échantillon E 1 et E 2. On veut comparer les moyennes observées aux niveaux des 2 Échantillon E 1 et E 2. E1E1 E2E2

44 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS En dautre termes, le problème peut être posé de 3 manières: Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle différente de la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation bilatérale) Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle supérieure à la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation unilatérale) Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle inférieure à la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation unilatérale)

45 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Définir H 0 et H 1 H 0 : On considère que 1. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 ne diffère pas significativement de la moyenne m 2 de E 2. Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle différente de la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation bilatérale) 1 et 2 sont respectivement les moyennes théoriques des 2 populations dont on a tirées E1 et E2. H 1 : On considère que 1. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 diffère significativement de la moyenne m 2 de E 2.

46 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Définir H 0 et H 1 H 0 : On considère que 1. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 ne diffère pas significativement de la moyenne m 2 de E 2. 1 et 2 sont respectivement les moyennes théoriques des 2 populations dont on a tirées E1 et E2. H 1 : On considère que 1 >. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 es supérieure significativement de la moyenne m 2 de E 2. Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle supérieure à la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation unilatérale)

47 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS Définir H 0 et H 1 H 0 : On considère que 1. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 ne diffère pas significativement de la moyenne m 2 de E 2. 1 et 2 sont respectivement les moyennes théoriques des 2 populations dont on a tirées E1 et E2. H 1 : On considère que 1 <. La moyenne m 1 au niveau de léchantillon E 1 est inférieure significativement de la moyenne m 2 de E 2. Sur le critère de la VA X, la moyenne m 1 de léchantillon E 1 est-elle inférieure à la moyenne m 2 de léchantillon E 2 ? (Situation unilatérale)

48 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS V.1- Cas des petits échantillons N 1 ou N 2 < 30

49 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS On suppose que les variables au niveau des 2 échantillons suivent une loi normale et que les 2 variances sont égales 1 = 2. Dans ces conditions; on estime la variance commune aux 2 échantillons:

50 Pr. A. SOULAYMANICours Statistique TESTS RELATIFS AUX CARACTERES QUANTITATIFS On calcul lécart observé en utilisant le test t de student: La quantité t obs. Suit une loi de student à (N 1 +N 2 -2)ddl sous lhypothèse nulle. La quantité t obs. Est donc comparée à la table à(N 1 +N 2 - 2)ddl et à 5%(test bilatéral) ou à 10% (test unilatéral).

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