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11 Probabilités au collège Versailles Mercredi 14 Janvier 2009.

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1 11 Probabilités au collège Versailles Mercredi 14 Janvier 2009

2 22 Statistique et probabilités Les probabilités ou la théorie mathématique de la mesure de lincertitude La statistique ou la théorie mathématique de la prise de décision face à lincertitude Deux grands domaines en statistique : Statistique descriptive : analyse des propriétés des données observées Statistique inférentielle : recherche dun modèle théorique compatible avec les données observées

3 3 3 6 ème : Organisation et représentation de données (tableaux, repérage sur un axe, diagrammes, graphiques) 5 ème : Représentation et traitement de données (classes, effectifs, fréquences, tableau de données, représentations graphiques de données) 4 ème : Traitement de données (moyennes pondérées) 3 ème : Statistique (caractéristiques de position ou de dispersion) Notion de probabilité Des séries statistiques aux probabilités : la progression dans les programmes du collège programmes

4 44 Capacités Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. Commentaires La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières ( pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités) La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune connaissance nest exigible dans le cas des expériences à deux épreuves. Programme en vigueur en Connaissances Notion de probabilité Probabilités

5 55 Capacités Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. Exemples dactivités, commentaires La notion de probabilité est abordée à partir dexpérimentations qui permettent dobserver les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes, etc. ). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves. Les connaissances relatives aux expériences aléatoires à deux épreuves ne sont pas exigibles dans le cadre du socle. Connaissances Notion de probabilité Programme en vigueur à la rentrée 2009

6 66 Etude de situations familières (lancer de pièces, de dés, roue dune loterie, urne) Institutionnalisation (définitions, propriétés) Traitement de situations diverses (expériences aléatoires à une ou deux épreuves) Démarche

7 7 1. a) Probabilités définies à partir de considérations de symétrie ou de comparaison Lancer une pièce équilibrée Tirage dans une urneRoue de loterie PF On admet quà chaque issue on peut faire correspondre un nombre qui « caractérise » les chances dobtenir cette issue». Ce nombre sappelle la probabilité dobtenir cette issue. Dans une expérience aléatoire, on ne peut pas prévoir le résultat. I. Premières situations dapprentissage

8 88 Réaliser des échantillons de grande taille. Reproduire la même expérience aléatoire. c) Simulation à laide de nombres pseudo-aléatoires On admet que si la pièce est bien équilibrée, les deux issues ont la même probabilité. Le tableur ou la calculatrice permettent de générer des nombres pseudo- aléatoires pour simuler ce modèle déquiprobabilité. Lancer dune pièce équilibrée Quand on répète N fois lexpérience aléatoire, on observe que lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation dune des deux issues tend à se stabiliser vers une valeur proche de 1/2. b) Approche expérimentale Lancer une pièce

9 99 2. Approche fréquentiste de la probabilité lancer dune punaise I. Premières situations dapprentissage Lorsquon répète N fois de suite une expérience aléatoire, on observe que lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation dune issue donnée tend à se stabiliser autour dun nombre et on admet que ce nombre est la probabilité dobtenir cette issue.

10 10 Probabilités géométriques Franc Carreau (document ressource) deux points sur un segment On considère un segment OS de longueur égale à 1. On choisit au hasard deux points A et B sur ce segment. On cherche à déterminer la probabilité que la longueur de ce segment soit supérieure ou égale à 0,5.

11 11 Larbre de probabilité Situation Arbre des possibles Arbre pondéré avec les probabilités Tirage dune boule dans lurne II. Représentation et traitement

12 12 Non 1 II. Représentation et traitement

13 13 Définir : Expérience aléatoire, issue, univers Des événements incompatibles, lévénement contraire dun événement, un événement certain, un événement impossible. La probabilité dun événement qui se produit nécessairement (événement certain) est égale à 1. Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que lun ou lautre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. Plus généralement, on peut additionner les probabilités dévénements deux à deux incompatibles. Equiprobabilité III. Énoncés de définitions, de propriétés

14 14 Propriétés : La probabilité dun événement est comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités dun événement et de son contraire est égale à 1. La probabilité dun événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est égale à 0. III. Énoncés de définitions, de propriétés

15 15 Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne peut pas en prévoir avec certitude le résultat. On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience. L'ensemble des issues est appelé univers. Tout ensemble d'issues est appelé événement. Un événement élémentaire contient une seule issue. L'événement certain contient toutes les issues. L'événement impossible ne contient aucune issue. Site Euler

16 16 On considère une expérience aléatoire. À chaque événement élémentaire, on associe un nombre compris entre 0 et 1. Lorsque la somme de tous ces nombres est égale à 1, on dit que l'on a défini une probabilité. La probabilité d'un événement (autre que l'événement impossible) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. La probabilité de l'événement impossible est égale à 0. Site Euler

17 17 Définition : Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation dun événement élémentaire se rapproche dune valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire » Définition : La probabilité dun événement est un nombre compris entre 0 et 1. Propriété : Lorsquon ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois lexpérience. On peut alors approcher la vraie valeur de la probabilité dun événement. On observe en effet que la fréquence dapparition de lévénement a tendance à se stabiliser lorsquon augmente le nombre dexpériences. La probabilité dobtenir « pile » lors du jet dune pièce est égale à 0,5. Attention aux énoncés proposés dans certains manuels !

18 18 Les événements obtenir « Face », obtenir « une boule rouge » peuvent être désignés par des lettres, par exemple F ou R. La probabilité dobtenir « Face » peut être notée p(obtenir « Face ») ou plus simplement p(Face) ou p(F). Introduire des notations

19 19 On considère lexpérience suivante, qui se déroule en deux étapes : dabord, on fait tourner une roue de loterie (on obtient la couleur « Rouge » avec une probabilité de 0,25 et la couleur « Bleu » avec une probabilité de 0,75). Ensuite, on fait tourner une deuxième roue de loterie (on obtient le numéro 1 avec la probabilité 1/6, le numéro 2 avec la probabilité 1/2 et le numéro 3 avec la probabilité 1/3). IV. Des expériences à deux épreuves Arbre des possibles R B Dresser la liste des issues, définir lunivers : U = {(R,1) ; (R, 2) ; (R, 3) ; (B, 1) ; (B, 2) ; (B, 3)}

20 20 IV. Des expériences à deux épreuves R B 1/4 3/ /6 1/3 1/2 Arbre pondéré (R, 1) (R, 2) (B, 1) (R, 3) (B, 2) (B, 3) 1/4 1/6 1/4 1/2 1/4 1/3 3/4 1/6 3/4 1/2 3/4 1/3 Pour répétitions de lexpérience : Environ fois R dont environ fois « 1 », environ fois « 2 » et environ fois « 3 », Cest à dire environ 1/4 ×1/6 × fois (R,1).

21 21 Modélisation et représentation Reconnaissances des issues Tableaux, arbres,... Fréquences et probabilités Raisonner de façon certaine sur lincertain une fois le modèle choisi, les raisonnements quon fait ne souffrent pas de contestation.

22 22 Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition des âges des jeunes adhérents dun club de théâtre. 1. Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ? 2. Y a-t-il un mode ? 3. Donner une valeur médiane. Donner sa signification. 4. On tire au sort un des jeunes adhérents de ce club de théâtre. Quelle est la probabilité que le jeune choisi ait 12 ans ?

23 23 Une enquête sur le temps dappel de 100 collégiens à laide de leur téléphone portable, au cours dune journée a donné les résultats représentés par polygone des effectifs cumulés croissants suivant. 1) Présenter un tableau donnant les classes et les fréquences. 2) Construire un histogramme de la série. Graphique temps d'appel.xls 3) On choisit au hasard un des collégens concernés par lenquête. Quelle est la probabilité que le temps dappel de ce lycéen soit a) compris entre 10 et 15 mn ? b) supérieur ou égal à 5 mn ?

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