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1 LES PROBABILITÉS en classe de 3ème. 2 Introduction Pourquoi laléatoire au collège ? Les probabilités : deux visions Textes officiels Expériences aléatoires.

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1 1 LES PROBABILITÉS en classe de 3ème

2 2 Introduction Pourquoi laléatoire au collège ? Les probabilités : deux visions Textes officiels Expériences aléatoires Notions élémentaires de probabilité Des exemples dactivités Conclusion

3 3 Introduction Des représentations du hasard chez des élèves de CM2 : – « Choses imprévisibles qui viennent de lextérieur » – « On produit du hasard en répondant au pif » – « Choses relatives aux coïncidences » – « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance» – « Le hasard nexiste pas » La réalisation d expériences va permettre de corriger les représentations erronées

4 4 Etymologie : – Hasard vient de larabe « az-zahr » qui signifie jet de dé –Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé – Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber

5 5 Pourquoi laléatoire au collège ? « Pour permettre au citoyen daborder lincertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres. Une clé essentielle pour lanalyse et la compréhension des phénomènes incertains.

6 6 Un enjeu de citoyenneté : - être capable de distinguer le hasard « calculable » du hasard de la contingence fortuite. - être capable davoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps à enseigner laléatoire, parfois depuis lécole primaire.

7 7 Une approche sur des considérations de symétrie : « la géométrie du hasard » Une approche « fréquentiste » Deux approches différentes

8 8 Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2 Probabilité dune issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison. La géométrie du hasard

9 9 La proportion de boules jaunes dans lurne est 2/5. La probabilité est le rapport du nombre dissues favorables au nombre dissues possibles On a 2 chances sur 5 dobtenir une boule jaune. La probabilité dobtenir une boule jaune est 2/5.

10 10 Une approche « fréquentiste » Exemple du lancer de punaise : On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par lexpérimentation. La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers.

11 11 La loi des grands nombres On considère une expérience aléatoire dans laquelle le hasard intervient pour déterminer une issue. - Soit A un événement, résultat possible de cette expérience, constitué par certaines issues. Par exemple : obtenir un nombre pair en jetant un dé. - On répète cette expérience un nombre n de fois et on calcule la fréquence F n des réalisations de A

12 12 La loi des grands nombres La loi des grands nombres affirme que : quand n est très grand, il y a de très grandes chances que la fréquence F n soit proche de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue de l'expérience. Plus n est grand, plus on a de chances que l'écart entre F n et p soit plus petit que n'importe quel nombre positif donné. Par exemple, avec n > 1000, il y a plus de 95 chances sur 100 que la différence | F n – p| soit inférieure à 0,03.

13 13 Programmes actuels au lyc é e En classe de seconde : Une vision fr é quentiste qui a pour volont é de faire d é couvrir les « fluctuations d é chantillonnage » par la pratique de la simulation d exp é riences ; pas de formalisation de la notion de probabilit é. fluctuations d é chantillonnage En classe de première et Terminale : Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : les probabilités La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors lemploi des simulations. Étude de lois de probabilités

14 14 Le programme de troisième

15 15 Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité [ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

16 16 Exemples dactivités, commentaires Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence nest exigible dans le cas des expériences à deux épreuves. Version rentrée 2008

17 17 La notion de probabilité est abordée à partir dexpérimentations qui permettent dobserver les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves*. Commentaires Version rentrée 2009 * Hors socle

18 18 Expériences aléatoires Une expérience aléatoire est un processus expérimental - décrit par un protocole - qui peut être répété dans les mêmes conditions - dont on peut déterminer à lavance la liste des issues - dont on ne peut pas prévoir lissue à lavance. Événements Un événement est lensemble des issues qui le réalisent

19 19 Exercice: le problème des trois bancs (M Henry) Dans un square il y a trois bancs à deux places. A et B vont sasseoir au hasard. Quelles chances ont-ils de se retrouver sur le même banc ? Expériences aléatoires : limportance du protocole A B

20 20 Exercice: le problème des trois bancs (M Henry) Dans un square il y a trois bancs à deux places. A et B vont sasseoir au hasard. Quelles chances ont-ils de se retrouver sur le même banc ? Expériences aléatoires : limportance du protocole P1: B choisit « au hasard » un banc parmi les trois ; lévénement est réalisé si B choisit le banc où est installé A et la probabilité est 1/3 P2 : B choisit « au hasard » une des cinq places qui restent ; lévénement est réalisé si B choisit la place libre sur le banc où est installé A et la probabilité est 1/5 A va sasseoir sur un banc, (peu importe le mode de choix) On a le choix de (au moins) deux protocoles :

21 21 Une progression possible 3. Une autre approche de la probabilité dun événement : lapproche fréquentiste 1. Sur des exemples, notion dexpérience aléatoire (à une épreuve) et dévénement Première définition de la probabilité dun événement 2. Répétition dune même expérience aléatoire : la stabilisation des fréquences 4. Expérience aléatoire à deux épreuves

22 22 1er temps : la géométrie du hasard Des outils générateurs de hasard : pièce, dé, roue de loterie, urne

23 23 Un exemple : lancer dune pièce On a une chance sur 2 dobtenir pile. La probabilité dobtenir pile est 1/2 Protocole de lexpérience : On lance une pièce Si elle tombe sur la tranche, on recommence Sinon, on note la face obtenue Un événement : « obtenir Pile »

24 24 Il y a 2 chances sur 6 dobtenir noir La probabilité dobtenir noir est 2/6, soit 1/3 Un événement : « obtenir noir » Un exemple : roue de loterie Protocole de lexpérience : On fait tourner laiguille. Si elle sarrête sur un trait noir, on recommence Sinon, on note la couleur obtenue

25 25 2e temps : observation de la stabilisation des fréquences pour des événements dont on connaît la probabilité On lance un dé un grand nombre de fois et on observe la fréquence dapparition du six. On observe que la fréquence du « six » tend à se stabiliser au voisinage de 1/6 Lancer dun dé

26 26 3e temps : observation de la stabilisation des fréquences pour des événements dont on ne connaît pas la probabilité ou difficilement. Exemple 1 : Le jeu du « Franc carreau » Exemple 2 : Quatre « pile » consécutifs en cinquante lancers dune pièce

27 27 Travail de groupe Analyse de lactivité 5 En quoi cette activité est elle propice ou non aux apprentissages? La donneriez vous à vos élèves ? Pour quels objectifs ? Quelles modifications lui apporter pour laméliorer ? Justifiez vos choix.

28 28 4e temps :Expérience aléatoire à deux épreuves

29 29 « Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je lance deux fois de suite un dé, quelle valeur faut-il que jannonce avant le lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? » 1) Réalise 60 expériences et note, à chaque fois, la somme des points obtenus. Donne une synthèse de tes résultats. 2) Représente graphiquement tes résultats. 3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ? Explique ta réponse. Un premier exemple dexpérience aléatoire à deux épreuves

30 30

31 31 Graphique

32 32 A lintérieur de la classe, les échantillons varient, fluctuent. Cest le regard sur un grand nombre de résultats qui peut permettre de parier. Quy avait-il de prévisible ? Après débat et mise en commun, on peut dégager les points suivants :

33 33 Pour répondre à cette dernière question, on peut faire un tableau comme celui qui suit, qui indique et dénombre les différents totaux :

34 34 De lexpérience à la simulation Utilisation par le professeur du générateur de nombres aléatoires de la calculatrice ou du tableur Une simulation dun lancer de deux dés. lancer de dé(s)

35 35 On dispose : -dune part, dune roue de loterie (bien équilibrée). ayant un secteur rouge, deux secteurs noirs et trois secteurs verts -et dautre part, dune pièce de monnaie (bien équilibrée). On fait tourner la roue puis on lance la pièce et on note le résultat obtenu. Un deuxième exemple dexpérience aléatoire à deux épreuves 1. Ecrire tous les résultats possibles. 2. Déterminer la probabilité dobtenir Vert et Pile.

36 36 Présentation des résultats : Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer les probabilités. Les « couleurs » ne sont pas équiprobables.

37 37 Présentation des résultats : tableau La probabilité dobtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

38 38 Résumé éventuel

39 39 Présentation des résultats : un arbre La probabilité dobtenir « vert et pile » est 3/12 ou 1/4 R V2V2 V1V1 N2N2 N1N1 V3V3 P (R;P) F (R;F) P F (N 1 ;P) (N 1 ;F) P F F F P P P F (N 2 ;F) (V 1 ;P) (V 1 ;F) (V 2 ;F) (V 3 ;F) (N 2 ;P) (V 2 ;P) (V 3 ;P)

40 40 Arbre : une autre présentation R V N P P P F F F 1/6 2/6 3/6 1/2

41 41 Pour un grand nombre dexpériences, par exemple : 3/6 dentre elles environ, soit environ « donneront » Vert pour la roue. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, soit environ 6 000, la moitié dentre elles environ, soit environ 3000 « vont donner » Pile. Environ 1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P). roue et pièce

42 42 Pour un grand nombre dexpériences : 3/6 dentre elles environ « donneront » Vert pour la roue. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, la moitié dentre elles environ « vont donner » Pile. 1/2 de 3/6 des expériences environ donneront (V;P). La probabilité dobtenir (V;P) est donc

43 43 Une autre activité longueur de segment.xls Un exemple tiré du document daccompagnement : Sur un segment [AB], on prend au hasard deux points M et N. On considère lévénement « La longueur du segment [MN] est strictement supérieure à la moitié de celle du segment [AB] ». Quelle est la probabilité de cet événement ?

44 44 Le document daccompagnement Cest un document à destination des professeurs, pas directement des élèves! Rester dans des exemples simples Éviter une formalisation hâtive et complexe

45 45 Déjà enseigné dans de nombreux pays. Nouvelle forme de pensée à acquérir. Fil rouge tout au long de lannée. Favoriser la démarche par lexpérience et laisser du temps. Allers-retours entre expérience et modèle. Conclusion


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