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LES STATISTIQUES- PROBABILITES EN CLASSE DE SECONDE.

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1 LES STATISTIQUES- PROBABILITES EN CLASSE DE SECONDE

2 Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui sest passé au collège et en classe de troisième en statistiques -Fréquences. - Caractéristiques de position: moyenne et médiane. - Approche de caractéristiques de dispersion: quartiles et étendue. STATISTIQUES AU COLLEGE

3 Un exemple dactivité de statistiques en troisième FREQUENCE CARDIAQUE On a relevé les fréquences cardiaques au repos, FCR, dun groupe de 60 sportifs. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau ci-contre. Pierre, qui sentraine ferme, a une FCR égale à 48. Il voudrait savoir comment il se situe par rapport à ce groupe de sportifs. 1°) A laide dun tableur trier ces données par ordre croissant des fréquences cardiaques. 2°) A laide du tableur déterminer la valeur minimale des FCR, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3. 3°) A laide du tableur calculer la moyenne des FCR. Interpréter les résultats des questions 2 et 3. 4°) Compléter un tableau FCR – Effectifs. Copier ce tableau et le coller dans un « grapheur » afin de réaliser le diagramme en bâtons de cette série statistique. 5°) Comment situez-vous la FCR de Pierre par rapport à celles de ce groupe de sportifs ? Tableur Graphe

4 Q1 = 50 Med = 52 Q3 = 54 Moyenne = 51.97

5 -Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités - Calculer des probabilités dans des contextes familiers Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui sest passé en classe de troisième en probabilités PROBABILITES EN TROISIEME

6 Les objectifs de cet enseignement 1.Savoir ce quest une expérience aléatoire -elle peut être décrite par un protocole, -elle peut être répétée autant de fois que lon veut dans les mêmes conditions, -on peut déterminer à lavance la liste des issues, -mais on ne peut pas prévoir à lavance lissue au moment où on la réalisera.

7 Les objectifs de cet enseignement 2. Être capable de déterminer à priori la probabilité de certains phénomènes aléatoires simples : - Savoir quil y a « égale probabilité » dans certaines expériences aléatoires, - Savoir que ce nest pas parce qu'il y a k possibilités quil y a une chance sur k que lévénement se produise, - Être capable dassocier des modèles à certaines expériences. 3. Établir un lien entre la probabilité dun événement et la fréquence observée en répétant un grand nombre de fois lexpérience.

8 Il sagit dune initiation à laléatoire et à la notion de probabilités. Les probabilités sont abordées à partir dexpériences dans des situations familières: pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc… Elles sont reliées aux statistiques : notion de fréquence et notion de probabilité. On passera peu à peu dun langage naturel au langage des probabilités. On abordera des expériences aléatoires à une ou deux épreuves.

9 9 En troisième, un exemple dactivité Le lancer dun dé. -10 groupes délèves font chacun 100 lancers. On observe la distribution des effectifs et on constate la fluctuation. - Que se passe-t-il si on lance 100 fois un dé ? Tableur Feuil1, Graph1

10 10 - On cumule les résultats des groupes délèves. Par exemple pour dix groupes ayant chacun réalisé 100 lancers : - On constate que pour ce regroupement de 1000 lancers, la fluctuations des fréquences autour de 1/6 (0,16) est moindre que pour 100 lancers. -On dit que le dé est équilibré si lors dun lancer, les 6 faces sont équiprobables cest-à-dire ont la même chance dêtre obtenues. -Pour un dé équilibré, la probabilité dobtenir « 6 » est égale à 1/6 -Lorsquon lance un dé équilibré un « grand » nombre de fois, les fréquences dapparition de chaque face se rapprochent de 1/6. Tableur Tableur Feuil1 et Graph2

11 11 Un exemple de T.P. en probabilités: La somme de deux dés On lance deux dés équilibrés et on fait la somme des faces supérieures des deux dés. 1.Quels sont les différents résultats possibles ? Sur quelle somme faut-il parier pour avoir le plus de chances de gagner? 2. Réalisation de lexpérience aléatoire: - Chaque élève lance 20 fois ses deux dés et calcule la fréquence des différentes sommes obtenues. - On compare les résultats des élèves de la classe et on en discute.

12 12 Somme de deux dés Comparaison des résultats obtenus par quatre élèves

13 13 3. Cumul des résultats de la classe Pour lensemble des lancers des élèves de la classe on établit la distribution des fréquences, on observe et on commente. Somme de deux dés

14 14 4. On simule cette expérience aléatoire avec un tableur: Observation avec une simulation de taille Tableur Somme de deux dés

15 15 Somme de deux dés 5. Prolongement possible (en seconde) -Calcul de la probabilité de chaque somme possible en dénombrant à laide dun tableau ou dun arbre. - Comparaison avec les fréquences observées lors de lexpérience réelle et lors de la simulation.

16 LES STATISTIQUES EN SECONDE -Passer des effectifs aux fréquences -Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées -Représenter une série statistique: nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées - Travailler sur léchantillonnage: réaliser une simulation, observation de lintervalle de fluctuation de fréquence au seuil de 95%. Pour quel objectif ? - Interpréter des résumés statistiques - Réaliser la comparaison de deux séries - Exploiter et faire une analyse critique dune résultat déchantillonnage Quoi de neuf par rapport à la troisième ?

17 LES PROBABILITES EN SECONDE Dans le même esprit quen classe de troisième : Réaliser des activités aléatoires Calculer des probabilités Dénombrer par des arbres, tableaux, diagrammes Modéliser et simuler En liaison avec les statistiques :passer des fréquences aux probabilités et travailler sur léchantillonnage Mais avec un peu plus de théorie

18 18 LES PROBABILITES EN SECONDE Étudier et modéliser des expériences simples Proposer un modèle probabiliste à partir de données statistiques Interpréter des événements de manière ensembliste Effectuer des calculs de probabilité Les objectifs de cet enseignement:

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20 Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités Premier temps Statistiques descriptives

21 Prolongement en seconde de lactivité Fréquence Cardiaque On souhaite comparer les FCR de ces 60 sportifs aux FCR dun groupe de 100 personnes pratiquant peu dactivité physique. La moyenne dâge des deux groupes est la même. Les relevés de ces 100 autres personnes sont donnés dans le tableau des effectifs ci-dessous: 6°) Représenter la courbe des fréquences cumulées de ces deux séries statistiques dans un même repère. Comment interpréter lantécédent de 0,5 ( de 0,25 et de 0,75) pour chacune des deux fonctions des fréquences cumulées? 7°) Quelle incidence semble avoir la pratique régulière du sport sur la FCR dun individu ? Tableur FCR Effectifs FCR Effectifs

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24 Deuxième tempsNotion de probabilité B. Le langage des probabilités: Probabilité dun événement définie comme la somme des probabilités dévénement élémentaires Cas particulier de léquiprobabilité C. Exemples de calculs de probabilités : par arbres, diagrammes, tableaux A.Pour se remettre dans le bain de la pratique de la classe de troisième - Une évaluation diagnostique.EVAEVA - Une activité présentant une expérience aléatoire. Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

25 Une expérience aléatoire : La collection Problématique: On lance dix fois un dé bien équilibré. Est-on sur dobtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé? Si non quelle est la probabilité de lévénement A = « obtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé » ? Pour répondre à ce problème ouvert on peut: 1.Faire réaliser lexpérience aux élèves 30 fois à la maison. Chaque élève relève la fréquence de lévénement A pour ses lancers, puis on cumule les expériences de tous les élèves et on observe la stabilisation des fréquences Fn lorsque n devient grand. 2. Faire simuler cette expérience par les élèves, avec un tableur en Module.

26 La collection Expériences des élèves ExpérienceExpérience élèves + Graph3 et4

27 La loi des grands nombres On considère une expérience aléatoire E dans laquelle le hasard intervient pour déterminer une issue. Soit A un événement, résultat possible de E, constitué par certaines issues. (Par exemple : obtenir un nombre pair en jetant un dé) On répète cette expérience un nombre n de fois et on calcule la fréquence F n des réalisations de A

28 La loi des grands nombres affirme que : quand n est très grand, il y a de très grandes chances que la fréquence F n soit proche de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue de l'expérience E. Plus n est grand, plus on a de chances que l'écart entre F n et p soit plus petit que n'importe quel nombre positif donné. (Par exemple, avec n > 1000, il y a plus de 95 chances sur 100 que la différence | F n – p| soit inférieure à 0,03)

29 La collection Résultats de la simulation SimulationSimulation + graph 1 et 2

30 Troisième temps Calculs de probabilités A. Probabilité de lévénement contraire, dune réunion dévénements B. Exemples de calculs de probabilités Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

31 Quatrième temps Échantillonnage A. Notion déchantillon B. Réalisation dune simulation avec un tableur: observation de lintervalle de fluctuation C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à laide dun échantillon? D. Comment peut-on prendre une décision à partir de létude dun échantillon ? Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

32 32 SIMULATION DUN SONDAGE DES INTENTIONS DE VOTE LORS DUN REFERENDUM Un vote à un référendum a donné une proportion p de « OUI » (p est un nombre décimal compris entre 0 et 1). On désire simuler un sondage sur les intentions de vote dun échantillon de taille n.

33 33 Description de lalgorithme en langage naturel Pour simuler le vote dune personne on tire au hasard un nombre décimal compris entre 0 et 1. Si ce nombre est inférieur ou égal à p le vote est « OUI », sinon il est « NON ». On choisit la proportion p du OUI et la taille n de léchantillon. On répète cette simulation du vote dune personne n fois On compte le nombre de fois où le vote a été OUI. On calcule la fréquence du OUI.

34 34 Simulation avec un tableur Par exemple, pour simuler un sondage auprès de 100 personnes, lorsque p = 0,45, on peut utiliser les formules suivantes: Il est possible ensuite de multiplier les sondages, simplement en recopiant les formules vers le bas, autant de fois quon le désire, et dobserver la fluctuation déchantillonnage Ouverture du document TABLEUR

35 35 Algorithme de simulation des intentions de vote de n personnes : Entrée Saisir n # n, entier naturel non nul, est la taille de léchantillon Saisir p # p, nombre décimal compris entre 0 et, est la proportion de « OUI » dans la population Traitement Affecter à m la valeur 0# m compte le nombre de réponses « OUI » Affecter à i la valeur 1# i compte le nombre de personnes interrogées Tant que i est inférieur ou égal à n faire : Affecter à a un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 Si a est inférieur ou égal à p augmenter m de 1 Augmenter i de 1 Affecter à f la valeur m/n# Calcul de la fréquence f du « OUI » dans léchantillon Sortie Afficher f

36 36 Traduction en langage Python from random import* n=int(input("saisissez la taille de l'échantillon\n")) p=float(input("saisissez la proportion de OUI dans la population\n")) m=0 i=1 while i<=n: a=random() if a<=p: m=m+1 i=i+1 f=m/n print("dans cet échantillon de taille",n,"la fréquence du OUI est égale à",f)

37 37 Traduction en langage ALGOBOX 1 VARIABLES 2 n EST_DU_TYPE NOMBRE 3 p EST_DU_TYPE NOMBRE 4 m EST_DU_TYPE NOMBRE 5 i EST_DU_TYPE NOMBRE 6 f EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 LIRE n 9 LIRE p 10 m PREND_LA_VALEUR 0 11 i PREND_LA_VALEUR 1 12 TANT_QUE (i<=n) FAIRE 13 DEBUT_TANT_QUE 14 SI (random()

38 Punaise ! C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à laide dun échantillon? Tableur Fiche activitéactivité

39 D. Comment peut-on prendre une décision à partir de létude dun échantillon ? La pièce de un euro est-elle équilibrée ? Fiche activitéactivitéTableur

40 Idées de travail à la maison pour les élèves 2. Le saut de la grenouille 1. Le lancer de pièces 3.Politique nataliste Enoncé Enonc é Tableur

41 Idées dactivités algorithmiques en probabilités Le jeu de treize Le jeu de treize. La collection La simulation dun référendum


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