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Probabilités Programme de première Programme de première Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance ST2S 2007.

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1 Probabilités Programme de première Programme de première Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance ST2S 2007 ST2S 2007

2 Extraits du programme de première STG 2007 page 4: …..Lobjectif est dentraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples et à calculer des probabilités. Il sagit déviter tout développement théorique et dintroduire la notion de probabilité en sappuyant sur la notion de fluctuation déchantillonnage mise en évidence par simulation. On soulignera les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence dun événement donné lorsque lexpérience est répétée un grand nombre de fois. Lusage de la calculatrice ou du tableur permet denrichir le champ des expériences aléatoires simples. Lutilisation de sur des exemples simples de fonctions logiques (SI … ALORS… SINON) est recommandée en vue de la préparation de certains concours. (page 3)

3

4 Un exemple

5 Corrigé succinct dans le même ouvrage:

6 Corrigé proposé: faire un dessin de lurne Réponse a) Soit A : « tirer deux nombres consécutifs » A = {{1;2}, {2;3}, {3;4}, {4;5}, {5;6} } Comme il y a équiprobabilité des événements élémentaires, p(A) = corrigé du même type pour lévénement B.

7 Hasard et modélisation Le problème des bancs. Un jardin public comporte 3 bancs à deux places chacun. Deux personnes arrivent et sassoient au hasard. Quelle est la probabilité quelles soient assises sur le même banc?

8 Autre univers, autre modélisation Chaque personne tire au hasard le banc sur lequel elle sassoit: en notant B 1, B 2 et B 3 les bancs: exemple de résultat: (B1,B3),

9 Dans cette représentation, lexpérience est modélisée par deux tirages successifs avec remise dans une urne: B2B2 B3B3 B1B1

10 lunivers comporte 9 événements élémentaires équiprobables: B1B1 B2B2 B3B3 B2B2 B2B2 B2B2 B1B1 B1B1 B3B3 B3B3 B3B3 B1B1 Choix de la 1 ère personne chcchc Choix de la deuxième

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12 Programme de terminale

13 Donc…

14 Un exemple dintroduction des probabilités conditionnelles

15 On choisit une personne au hasard dans cette population, avec lhypothèse déquiprobabilité: événement A: le client a acheté événement B: le client a bénéficié dun conseil On choisit une personne au hasard dans cette population, avec lhypothèse déquiprobabilité: événement A: le client a acheté événement B: le client a bénéficié dun conseil

16 Sachant que la personne interrogée a bénéficié dun conseil, quelle est la probabilité quelle achète un article?

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18 Avec un arbre: B A A

19 Avec des diagrammes

20 C : le client a moins de 25 ans C : le client a moins de 25 ans B A A 0,6 C C C C 0,4 0,5 0, 3 0,7 0,4 0,6

21 La même avec trois événements A,B,C

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23 Règles : A chaque niveau, les événements forment une partition de lunivers. les probabilités sur les branches secondaires sont toujours des probabilités conditionnelles la probabilité dun chemin (ou trajet) est le produit des probabilités marquées sur ses branches ; la probabilité dun événement est la somme des probabilités des chemins y conduisant. Remarques : La somme des probabilités des branches primaires est égale à 1. La somme des probabilités des branches secondaires issues dun même nœud est égale à 1.

24 Exemple: le paradoxe des événements rares On étudie un test de détection dune maladie sur une population qui comporte une proportion p=0,1 de personnes malades. Si la personne est malade, la probabilité que le test soit positif est 0,99. Si la personne nest pas malade, le test est négatif avec une probabilité de 0, Traduire le nombre 0,99 à laide de probabilités conditionnelles 2- On fait subir le test à une personne prise au hasard, quelle est la probabilité à 0,01 près quil soit positif? 3- Sachant quune personne de cette population a un test positif, quelle est la probabilité quelle soit malade?

25 T M M T p 1-p 0,99 0,01 2) 3) Soit p(T) = 0,108

26 Le paradoxe Ici Avec p=0,001 sachant que la personne a un test positif, la probabilité quelle soit malade est denviron 0,09, malgré la fiabilité des tests.

27 Indépendance: 0,8 0,6 0,48

28 Définition: deux événements A et B sont indépendants lorsque: Définition: deux événements A et B sont indépendants lorsque: Si p(B) est non nul, cela revient à :

29 Indépendance dans le cas déquiprobabilité Si B est non vide, A et B sont indépendants si et seulement si la proportion de dans B est égale à la proportion de A dans

30 Deux utilisations de lindépendance 1.Vérifier lindépendance de deux événements (exemple des naissances filles garçons) 2. Daprès les conditions de lexpérience, on sait que deux événements A et B sont indépendants, on en déduit la probabilité de

31 Quelques exemples dutilisation dun tableur 1. Fréquences conjointes et indépendance Fréquences conjointes et indépendance Fréquences conjointes et indépendance

32 2. Simulation de tirages successifs sans remise: trois tirages, 100 simulations de trois tirages trois tirages100 simulations de trois tiragestrois tirages100 simulations de trois tirages

33 3. Le problème des anniversaires Simulations Simulations Simulations Quelle est la probabilité que, dans un groupe de n personnes, il y en ait au moins deux qui fêtent leur anniversaire le même jour?

34 Fin


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