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Statistiques et probabilités en première Un programme qui sinscrit dans la continuité de celui de seconde marqué essentiellement par lintroduction de la.

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Présentation au sujet: "Statistiques et probabilités en première Un programme qui sinscrit dans la continuité de celui de seconde marqué essentiellement par lintroduction de la."— Transcription de la présentation:

1 Statistiques et probabilités en première Un programme qui sinscrit dans la continuité de celui de seconde marqué essentiellement par lintroduction de la répétition dexpériences identiques indépendantes et de lépreuve puis du schéma de Bernouilli.

2 Contenu Très peu de différences entre les programmes des sections ES, L et S En plus en S : - variance et écart type dune variable aléatoire et démonstration des propriétés de lespérance et la variance ; - situations autour de la loi géométrique tronquée ; - triangle de Pascal et propriété dadditivité des coefficients binomiaux ; - la représentation graphique dune loi binomiale est une capacité attendue en S et seulement utilisée en ES.

3 Des différences significatives avec ce qui était fait en terminale antérieurement Les situations de répétition dune même expérience aléatoire, reproduite dans des conditions identiques constituent un élément fort du programme de Première. mais : - la notion de probabilité conditionnelle est hors programme ; - on sappuie sur la représentation en arbre pour mettre en place la propriété « de multiplication des probabilités » sur les branches.

4 Loi géométrique tronquée (en S seulement) Son introduction présente de nombreux avantages : - travailler des répétitions dune épreuve de Bernoulli ; - envisager ces répétitions sous langle algorithmique ; - présenter une situation darbre pour lequel tous les chemins nont pas la même longueur ; - exploiter hors de lanalyse les propriétés des suites géométriques ; - exploiter hors du cadre habituel des résultats relatifs à la dérivation ; - travailler les variables aléatoires.

5 Définition de la loi géométrique tronquée (en S seulement) Répétition n fois dune épreuve de Bernouilli de paramètre p avec arrêt au premier succès, et loi de la variable aléatoire X « succès à létape k » Remarque : loi géométrique, on sarrête au premier succès

6 Expression de la loi géométrique tronquée (en S seulement)

7 Simulations et représentations graphiques (en S seulement)

8 Un exemple (en S seulement)

9 Loi binomiale Il est recommandé de faire découvrir la loi à partir dun arbre pour une petite valeur de n (4) La notation qui se lit « 1 parmi 4 » désigne le nombre de chemins qui conduisent à 1 succès. Les nombres de chemins sont appelés coefficients binomiaux, obtenus à laide calculatrice ou tableur

10 Propriété dadditivité des coefficients binomiaux et triangle de Pascal (en S seulement)

11 Représentations graphiques

12 Exemple Lancers de pièce On lance une pièce équilibrée n fois. On sintéresse à la probabilité dobtenir « face » dans 60 % des cas ou plus. Envisager les cas n =10, puis n =100, puis n =1000. Donner dabord, sans calcul, une estimation spontanée du résultat, puis solliciter la calculatrice ( n =10 ) ou un algorithme de calcul ( n =100 et n =1000 ).

13 Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale Lintervalle de fluctuation au seuil de 95 % dune fréquence F,correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, de la variable aléatoire X (égale à nF) de loi binomiale de paramètres n et p, est lintervalle [a/n ; b/n], défini par le système de conditions suivant : - a est le plus grand entier tel que P(X < a) 0,025, - b est le plus petit entier tel que P(X > b) 0,025.

14 Calcul de lintervalle de fluctuation

15 Prise de décision avec la loi binomiale

16 Exemple En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison. Il attaque ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon lui, discriminante à légard des Américains dorigine mexicaine. Alors que 80 % de la population du comté est dorigine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être jurés lors des années précédentes, il ny a eu que 339 personnes dorigine mexicaine. Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien fondé de la requête de laccusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, pouvez- vous décider si les Américains dorigine mexicaine sont sous-représentés dans les jurys de ce comté ?


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