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Probabilités et statistiques en première S, ES, L Comment introduire les notions nouvelles en faisant des simulations avec le logiciel Scilab. Par Christine.

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1 Probabilités et statistiques en première S, ES, L Comment introduire les notions nouvelles en faisant des simulations avec le logiciel Scilab. Par Christine Gomez

2 Thèmes abordés La notion despérance La loi binomiale Les intervalles de confiance

3 La notion despérance (1) 1° ES, S : « À laide de simulations et dune approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne dune série de données. » Nous allons jouer au 421 On lance 3 dés équilibrés. Si on sort 421, on gagne 10 Si on sort 2 des 3 chiffres, on gagne 2 Combien peut-on espérer gagner en moyenne sur 1000 parties ?

4 La notion despérance (2) Algorithme à mettre en œuvre : Initialiser la somme gagnée S à 0 Définir les ensembles gagnants Pour k allant de 1 à 1000 Simuler le lancer de 3 dés et définir lensemble obtenu Si cet ensemble contient les 3 chiffres gagnants, alors S augmente de 10 ou si cet ensemble contient 2 des chiffres gagnants, alors S augmente de 2 Fin de si Fin de pour Afficher S/

5 La notion despérance (3) Dans la simulation nous avons utilisé les ensembles, qui facilitent les tests. Le calcul théorique se fait en comptant ordre et remise, il nest pas très simple : Il y a 6^3 = 216 issues dont 6 pour avoir 421 (3! ordres possibles) 72 pour avoir 2 des 3 chiffres (3 × 24) en effet pour les 2 chiffres 1 et 2 corrects, on a 6 issues avec 2 chiffres égaux, type 112 ou issues avec 3 chiffres différents, type 123 (on exclut 124) Lespérance est donc égale à (6 × × 2) / 216 = 0,94

6 La loi binomiale (1) 1°ES, S : « On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. » Jean Claude Dusse sinscrit pour 6 jours de cours de ski. On lui annonce quil ne peut pas choisir son moniteur, mais que celui-ci sera tiré au hasard chaque matin parmi léquipe, qui comprend autant dhommes que de femmes. Inquiet, Jean Claude se demande quelles sont ses chances…

7 La loi binomiale (2) On commencera par simuler une semaine; Lalgorithme à mettre en œuvre est : Simuler 6 fois le choix du moniteur (femme = 1, homme = 0) Compter le nombre de 1 et le nommer N Afficher N Soit en Scilab : t=tirage_entier(6,0,1); N=taille(find(t==1)); afficher(N) jcduss1

8 La loi binomiale (3) On fera ensuite un grand nombre de simulations (ici ), et on affichera les fréquences correspondant aux nombres de jours de la semaine où le moniteur était une femme. Lalgorithme à mettre en œuvre est : Initialiser une liste N qui au départ contient zéros et ensuite contiendra les résultats des simulations. Pour k allant de 1 à Simuler 6 choix Compter le nombre de 1, le mettre dans N(k) Fin de boucle pour Pour k allant de 0 à 6 Calculer la fréquence de k dans N Afficher k et sa fréquence Fin de boucle pourjcduss2

9 La loi binomiale (4) Variante : JC Dusse cherche seulement à approcher la probabilité davoir un moniteur femme au moins trois jours dans la semaine. Lalgorithme à mettre en œuvre est : Initialiser à 0 la fréquence de lévènement « J C Dusse a eu une femme pour moniteur au moins trois fois » Pour k allant de 1 à Simuler 6 tirages aléatoires équiprobables (Homme = 0, Femme = 1) Si le nombre de femmes est supérieur ou égal à 3, alors Augmenter la fréquence de 1/ Fin de boucle si Fin de boucle pour Afficher la fréquencejcduss3

10 Les intervalles de confiance (1) 1°S et ES : « Lintervalle de fluctuation peut être déterminé à laide dun tableur ou dun algorithme. » La méchante reine aimerait bien savoir si elle est plus belle que Blanche Neige. Nayant pas confiance en son miroir, elle a fait interroger 100 sujets, et 52 ont voté pour Blanche Neige. Elle a fait ses calculs, et conclu quau risque de 5%, Blanche Neige nétait pas sûre de lemporter. Quels calculs a-t-elle fait ? A-t-elle eu raison ? Combien aurait-elle dû interroger de sujets pour sinquiéter vraiment ?

11 Les intervalles de confiance (2) Quels calculs a-t-elle fait ? Elle sest dit quelle pouvait considérer que le nombre B de sujets préférant Blanche Neige suivait une loi binomiale de paramètres 100 et 0,52. Quau risque de 5%, elle allait chercher lintervalle contenant les 95% restants, en éliminant 2,5% de chaque côté. Elle a donc ouvert Scilab, et fait établir la fonction de répartition FB correspondant à B. Puis elle a recherché le plus petit entier m1 tel que p( B 0,025 Reine 1 et le plus petit entier M1 tel que p(B = 0,975 Son intervalle de confiance était [m1/100 ; M1/100]

12 Les intervalles de confiance (3) A-t-elle eu raison ? Oui : elle a trouvé m1 = 42, et M1 = 62, donc I = [0,42 ; 0,62 ] Donc I contient des valeurs inférieures à 50%, il nest pas dit que Blanche Neige lemporte au risque de 5%. La sorcière a bien conclu, sachant quelle ait fait deux approximations : Elle a considéré quil y avait remise des sujets interrogés Elle a fait une hypothèse de symétrie qui nest totalement vraie que si p = 0,5. Elle a vérifié si cela correspondait à ce quon lui avait appris en 2° année Reine 1 décole des sorcières : I = [0,52 – 1/10 ; 0,52 + 1/10]

13 Les intervalles de confiance (4) Combien aurait-elle dû interroger de sujets pour sinquiéter vraiment ? Elle se rend bien compte que son intervalle est trop grand pour être vraiment significatif. Elle retourne à ses calculs, et reprend son programme en faisant varier la valeur N du nombre de sujets interrogés. Elle se dit ensuite quelle va faire un test pour savoir si la borne m1/N peut devenir supérieure à 0,5, et quand. Elle a trouvé Si elle avait fait le calcul avec 0,52 – 1/racine(N) > 0,5, elle aurait trouvé N >(1/0,02)^2, soit N > 2500 Reine 2

14 Si ceci vous a plu, contactez Télécharger gratuitement La version Scilab est téléchargeable sur le site Aller voir la rubrique « Scilab pour les lycées » où lon explique comment télécharger le module lycée et où lon trouve les liens vers des documents daccompagnement. Un complément au livret a été mis en ligne.


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