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Chapitre 2 Moyenne, écart type et incertitude de mesure.

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1 Chapitre 2 Moyenne, écart type et incertitude de mesure.

2 temps Tension U moyenne On étudie lévolution dune grandeur (tension) dans le temps. U = f(t) à cause des fluctuations de la tension elle-même ou à cause de linstrument de mesure; ou les deux. On peut considérer que U est une variable aléatoire, chaque mesure effectuée correspond à une réalisation de cette variable.

3 On caractérise cette variable par sa valeur moyenne et par lécart type qui rend compte de la dispersion des résultats autour de la valeur moyenne..

4 2-1 Propriétés des distributions. Selon le cas, la grandeur physique étudiée doit être considérée comme une variable aléatoire discrète ou comme une variable aléatoire continue Moyenne. Variable aléatoire discrète X définie sur [x min, x max ], valeurs associées x 1,x 2, …x N. On définit x N : moyenne discrète des N réalisations de X:

5 Cette moyenne n est pas complètement caractéristique de la variable X. Elle dépend des N réalisations considérées. Pour N autres réalisations on aura : x N x N Cependant, si N est suffisamment grand on définit la moyenne de X ou espérance de X:

6 Dans le cas dune variable continue, la moyenne s écrit: Ex: Libre parcours moyen du photon. = L Les photons parcourent donc, en moyenne, la distance L.

7 2-1-2 Variance et écart type. On cherche à caractériser la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de la moyenne. Comme ce n est pas une bonne idée. On définit alors la variance V(X): Pour une variable discrète: Pour une variable continue:

8 On démontre la relation : V(X) est la variance de X. On utilise plus généralement lécart quadratique moyen ou écart type (X) qui a la même dimension que la variable X: V(X) = (X)

9 2-1-3 Combinaisons linéaires de variables aléatoires Deux variables aléatoires indépendantes X 1 et X 2 ; a partir de ces variables on définit une nouvelle variable Y: Y= 1 X X 2 Toute réalisation y de Y correspond à la combinaison des réalisations x 1 et x 2 de X 1 et X 2. Y vérifie les propriétés: On obtient plus généralement:

10 2-2. Quelques types de distributions Distribution uniforme Distribution binomiale (Bernouilli). Un événement E a une probabilité p d apparaître au cours dune expérience. On considère n expériences indépendantes avec p identique: P(observer k fois E en n exp.) = p k (1-p) n-k = p k (1-p) n-k

11 ou représente le nombre de combinaisons de k objets d un ensemble de n objets. Les sont les coefficients du binôme: (a+b) n = Ex: Ensemble E {1,2,3,4,5}. Nombre de sous ensembles de 2 objets? {(1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,4) ; (3,5) ; (4,5)}

12 Ex: Urne avec T boules, a 1 boules blanches p=a 1 /T a 2 boules noires p N =a 2 /T=1-p On tire n boules avec remise ( tirage non exhaustif) et on cherche la probabilité P d obtenir k blanches ( donc (n-k) noires): - toutes les séries de même taille n et contenant k blanches sont équiprobables. La probabilité de chacune d elle est p k (1-p) n-k Le nombre de ces séries est égal au nombre de combinaisons possibles de k éléments dans une série de n soit P(observer k fois E en n expériences) =

13 Ex: probabilité d obtenir un événement X k fois si p(X)=2/5 et n=30 On calcule la distribution de probabilité: P(4 )=0,001 P(5)=0,004 P(6)=0,011 P(7 )=0,026 P(8)=0,050 P(9)=0,082 P(10 )=0,15 P(11)=0,139 P(12)=0,147 P(13)=0,136 P(14)=0,110 P(15)=0,078 P(16 )=0,049 P(17)=0,027 P(18)=0,013 P(19 )=0,005 P(20)=0,002 P(21)=0,000 E(x)=np V(x)=np(1-p) =

14 Distribution normale. Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de Gauss ou de Laplace-Gauss) si la densité de probabilité est: >0 - f(x)>0 - - Valeur moyenne de X=µ - Variance V(X) = 2 - Ecart type

15 C est la loi limite de la loi binomiale dans une suite infinie d épreuves répétées ( beaucoup plus facile à utiliser). Pour pouvoir utiliser des tables on utilise la loi normale réduite pour µ=0 et =1: qui donne une courbe en cloche de Gauss. Les tables donnent f(x) et la fonction (x) (analogue à une fonction de répartition):.

16 Valeurs de (x) en fonction de x: Table de dépassement de l écart absolu : Valeur de lécart x qui possède la probabilité dêtre dépassé en valeur absolue x x (x)

17 Pour x=3, Surface(x=3)= (3)=0,9974 la variable x a 99,74% de chance de se trouver dans l intervalle [-3,+3 ]. Ceci a des applications pour le calcul des incertitudes.

18 De nombreuses distributions naturelles sont approchées par une loi normale. Ex:- Répartition des valeurs mesurées autour de la valeur Moyenne (grand nombre de mesures indépendantes). - Elargissement des raies spectrales par certaines perturbations qui provoquent une distribution de l énergie autour d une valeur centrale. - Taille des individus autour de la taille moyenne. - Usure de marches d escalier.

19 2-3 Etude statistique des mesures expérimentales Incertitude sur une mesure. On mesure la masse dun objet: variable aléatoire M. A partir dun très grand nombre de réalisations m i, on détermine la moyenne, la variance V(M) et lécart type (M). On observe que plus de 99% des résultats vérifient: On définit alors l incertitude absolue sur la mesure: (M)=3 (M) (M) est telle que on a 99% de chances d obtenir : noté également :

20 2-3-2 Influence du nombre limité de réalisations. Soit une variable aléatoire X caractérisée par sa valeur moyenne et son écart type On suppose par exemple que les réalisations x 1, x 2,…..,x j de X sont réparties selon une loi normale centrée sur. Si on fait 1 mesure x 1 on a = x 1 ± (X) = x 1 ± 3 (X ) On cherche à connaître plus précisément. On fait N mesures de X: x 1, x 2,…..,x j et x N et on calcule la moyenne densemble N sur ces N réalisations.

21 Comme on comprend intuitivement que si N est assez grand la moyenne N se rapproche de

22 Comment varie lécart type si on fait leffort de faire N réalisations (mesures ) au lieu de une seule mesure? Pour interpréter N, on considère N nouvelles variables aléatoires X 1, X 2,X 3 …,X N, indépendantes mais de distribution identique à celle de X, et on définit une nouvelle variable Y: La moyenne densemble apparaît alors comme la réalisation de la variable Y telle que x i =x i.

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24 Y étant une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes sa moyenne et sa variance sécrivent: En faisant N réalisations de la variable X, on a amélioré la détermination de la valeur moyenne et divisé lécart type par Soit

25 Approximations. On admet donc que si le nombre N dévaluations est assez élevé: est une bonne approximation de (X). On obtient alors La valeur moyenne de X est déterminée avec dautant plus de précision que N est élevé.

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27 Ex: Si on répète 10 fois une épreuve représentée par une variable aléatoire X despérance 40 et décart type 5 la variable sur les 10 épreuves a une espérance de 40 et un écart type de Ex: S il faut 100 parties de pile ou face pour contrôler au 1/10 la relation p =q=0.5 Il faut parties pour la contrôler au 1/100 Il faut parties pour la contrôler au 1/1000 convergence lente.

28 2-4 Calcul d incertitude Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes. Soient n variables aléatoires X 1, X 2 …X n avec n mesures x 1, x 2 ….x n associées et n incertitudes (X i ) associées. Si la nouvelle variable Y, est une combinaison linéaire de X 1, X 2 …X n : l incertitude associée à Y: peut être surestimée par:

29 2-4-2 Fonctions non linéaires de variables aléatoires indépendantes. Fonction Les incertitudes étant réputées petites devant les valeurs moyennes, on passe par le développement linéaire de la fonction f autour du point moyen on estime la variance associée à Y à partir des dérivées partielles de f:

30 On en déduit l écart type: Méthode : On calcule la différentielle df de la fonction f à partir de ses dérivées partielles.

31 Ex: Dipôle électrique; On mesure la tension U : valeur u et incertitude (u) et le courant I : valeur i et incertitude (I). Incertitude sur la puissance dissipée P=U.I ? Avec p=u.i Ce qui correspond bien à la relation donnant l incertitude relative calculée, dans ce cas,à partir des différentielles logarithmiques : Ln (P )= Ln(U) + Ln(I) On obtient :


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