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Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles.

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1 Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles

2 Pr. A. SOULAYMANI Théorie des Probabilités Étude des lois de probabilités usuelles

3 Une variable aléatoire X peut prendre des valeurs x i dans un intervalle donné de façon quà chaque valeur particulière de x i correspond une probabilité p i. Introduction: p i apparaît comme une fonction de x i et lensemble des probabilités élémentaires p i constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Théorie des Probabilités

4 Pr. A. SOULAYMANI Autrement dit, affecter une probabilité p i à chacune des valeurs de x i, cest doter la variable aléatoire X dune loi de probabilité. Exemple : Si on lance successivement 3 fois une pièce de monnaie: xixi 0123 P(x i )1/83/8 1/8 Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète. Théorie des Probabilités

5 Pr. A. SOULAYMANI Théorie des Probabilités Le problème des lois de probabilité devient plus délicat lorsque la V.A. X est continue. En effet, pour des V.A. continue, la probabilité dune valeur particulière est nulle.(De la même manière que le choix dun point sur une droite). On est donc amener à distinguer deux catégories de lois de probabilité: - Les Lois relatives à la variation discontinue et, - Les Lois relatives à la variation continue.

6 Pr. A. SOULAYMANI I- Distribution Binomiale

7 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale La distribution binomiale ou loi binomiale est une loi de variation discontinue dite de Bernoulli. Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A la valeur 1 et à tout élément nappartenant pas à A la valeur 0. Cette variable ne prend donc que deux valeurs 1 et 0, avec: P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p

8 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale 1- Urne de BERNOULLI: Considérons une urne qui contient deux types de boules: - Des boules blanches deffectif n 1 (8): - Des boules noires deffectif n 2 : (12) n 1 + n 2 = N = 20

9 Pr. A. SOULAYMANI On suppose que le tirage se fait avec remise, de sorte que la composition de lurne ne change pas dun tirage à lautre. p = n 1 /N = 8/20 = 0,4 q = n 2 /N = 12/20 = 0,6 On constate que p+q = n 1 + n 2 /N = 20/20 = 1 Loi Binomiale: urne de Bernoulli

10 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: urne de Bernoulli 2- Définition: Une Variable aléatoire X suit une Loi Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée comme une somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. Ce qui nous intéresse donc, cest la probabilité des associations qui peuvent résulter de n tirages successifs.

11 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: Épreuve du double tirage Épreuve du double tirage: Considérons lexemple simple dun sac de 3 boules, dont une blanche et deux noires. On se propose de voir ce qui va se passer sur le plan de probabilités quand on procède à deux tirages successifs avec remise. La probabilité de tirer une boule blanche étant p=1/3 et celle de tirer une boule noire est q=1-p = 2/3.

12 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: Épreuve du double tirage Ce qui nous intéresse, cest la probabilité des associations issues du premier et du second tirage. p=1/3 q=2/3 1 er tirage 2 eme tirage Association BB : p 2 BN : pq NB : qp NN : q 2 NB : qp NN : q 2

13 Pr. A. SOULAYMANI 1 er tirage2 eme tirageAssociation BB : p 2 BN : pq NB : qp NN : q 2 NB : qp NN : q 2 Loi Binomiale: Épreuve du double tirage Au total, on aura trois catégories dassociations (2 tirages + 1) Si on ne tient pas compte de lordre du tirage, on aura: 1- Association BB de probabilité (1/3)(1/3)=p 2 2- Association BN ou NB de probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq 3- Association NN de probabilité (2/3)(2/3)=q 2 Ces divers associations de 2 boules, comportant respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour probabilités respectives les termes successifs du développement de (p+q) 2 = p 2 + 2pq + q 2

14 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple 2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale En résonnant de la même manière que précédemment, on arrivera dans le cas dun triple tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires. En démontre facilement que les probabilités des 4 associations seront obtenues par les termes du développement de (p+q) 3. (p+q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3 pq 2 + q 2 3B3B 2B+ N 2N+ B 3N3N

15 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale Nombre de boules Noires Probabilité p 3 = 1/27 3p 2 q=6/27 q3 =8/27 3pq2= 12/27 (p+q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3 pq 2 + q 2 [ p = 1/3 ; q = 2/3 ]

16 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: En général Dune manière générale: Soit une urne composée de N boules, dont k boules blanches et N-k boules noires. En répétant lépreuve plusieurs fois; la structure des échantillons sera la suivante: - 0 boules Blanches et n boules noires. - 1 boules Blanches et (n-1) boules noires. - 2 boules Blanches et (n-2) boules noires. -…. - k boules Blanches et (n-k) boules noires. -…. - n boules Blanches et 0 boules noires. TirageÉchantillon E: n boules (n < N)

17 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: En général Si X: nombre de réalisations de E dans un échantillon de n boules. X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que: X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n } Si X = k réalisations de E et si lon tient pas compte de lordre du tirage des boules La probabilité davoir k boules blanches est: p. p. p…..p… p = p k K fois Dans léchantillon, on aura (N-k) boules noires de probabilité q. q. ….q…….q = q (N-k)

18 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: En général Ainsi, la probabilité davoir k boules blanches et (n-k) boules noires dans léchantillon serait; f k = p k.q (n-k). Mais il y a autant déchantillon satisfaisants (k boules blanches et n-k boules noires) que de combinaisons de n boules avec k boules blanches; on aura donc:

19 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale: En général Si X est le nombre de réalisation de E avec X = { 0,1,2,……k,……N} Les probabilités liées à chacune des réalisations x i correspondent aux termes successifs du développement du binôme de Newton (p+q) n. Cest cette distribution de probabilités qui est connue sous le nom de Distribution Binomiale.

20 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale:Moyenne 2-3. Paramètre de La loi Binomiale La moyenne dune loi Binomiale Si X est le nombre de réalisation de E avec X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs x i sassocie une probabilité P(x i ), telle que: (p+q) (n-1) = 1

21 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale:Variance La variance dune loi Binomiale La variance V(X) = x 2 = E(X) 2 – [E(x)] 2 = n p i x i 2 -x 2 = p i x i 2 - x +x -x 2 _ _ __

22 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale:Variance (p+q) (n-2) = 1 (n-2) =1

23 Pr. A. SOULAYMANI 3- Exemples dapplication 3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilité davoir 2 filles?. La probabilité de naissance dune fille est p=0.48. Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52 Quel est le nombre moyen de filles et la variance? Solution: E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44 Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75 Loi Binomiale

24 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale 3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité davoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et la variance de X Solution: xP(X=x) Loi de Probabilité E(X) = n.p =5(0.3)=1.5 La Moyenne est: Var(X) = n.p.q =5(0.3)(0.7) =1.05 La Variance est:

25 Pr. A. SOULAYMANI Loi Binomiale Fonction de répartition: Solution: F X (x) = P(X x i ) xP(X = x)P(X x)

26 Pr. A. SOULAYMANI Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité. On lance 9 fois de suite le Dé. On considère que lon obtient un succès si la réponse obtenue est supérieur à 5. Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets. Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9, la moyenne et la variance de cette distribution.

27 Pr. A. SOULAYMANI Solution: Sur un jet, la probabilité de succès est p = 2/6 = 1/3 La probabilité de léchec est q = 4/6 = 2/3 X suit une loi binomiale (N,p) = (9, 1/3)

28 Pr. A. SOULAYMANI La moyenne de X : (N,p) est: np = 9.1/3 = 3 La variance de X : (N,p) est: npq = 9.1/3.2/3 = 2

29 Pr. A. SOULAYMANI 3- Distribution binomiale symétrique ou asymétrique: Loi Binomiale Lexpression générale de la loi binomiale est donnée par: Si p = q; lexpression générale de terme k, abstraction faite du coefficient C, devient p k.q (n-k) = p k.p (n-k) = p n. Dans ce cas, tous les termes sont de la forme p n et ne différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes situés à égales distance du binômes (p+q) 2 deviennent respectivement égaux entre eux: La distribution est dite alors Symétrique.

30 Pr. A. SOULAYMANI Avec P i = 1 (P,P,P)3(F,P,P)2 (P,F,F)1 (F,P,F)1 (F,F,P)1 (F,F,F)0 (P,P,F)2 X = {0, 1, 2, 3} (P,F,P)2 P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8 P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8 P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8 P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8 Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans lépreuve de 3 tirages successifs dune pièce de monnaie non truquée (p = q = 1/2)

31 Pr. A. SOULAYMANI La forme générale de la distribution symétrique est la suivante: P k

32 Pr. A. SOULAYMANI n=10x p0,100,200,250,300,400, ,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,999 1,000 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,999 1,000 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,998 0,999 1,000 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,833 0,945 0,987 0,998 0,999 1,000 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 0,945 0,989 0,999 1, Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X x) P(X=5) = P(X5) – P(X 4) P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001 Par définition: P(X=x i ) = P(X x i ) – P(X x (i-1) )

33 Pr. A. SOULAYMANI n=10x p0,100,200,250,300,400, ,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,999 1,000 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,999 1,000 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,998 0,999 1,000 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,833 0,945 0,987 0,998 0,999 1,000 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 0,945 0,989 0,999 1,000 Probabilité dun intervalle: P (x i X x k ) P(2 X 4) = P(X4) – P(X 1) P(X=5) = 0,998 – 0,736 = 0,262 Par définition: P( xi X x K ) = P(X x i ) – P(X x (k-1) )

34 Pr. A. SOULAYMANI n=10x p0,100,200,250,300,400, ,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,999 1,000 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,999 1,000 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,998 0,999 1,000 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,833 0,945 0,987 0,998 0,999 1,000 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 0,945 0,989 0,999 1,000 Probabilité P ( X x k ) P( X 4) = 1 -P(X3) P(X=5) = 1 – 0,987 = 0,013 Par définition: P(X x i ) = 1 -P(X x (i-1) )


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