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Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale probabilité dune variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer.

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Présentation au sujet: "Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale probabilité dune variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer."— Transcription de la présentation:

1 Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale probabilité dune variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer n tirages équiprobables avec remise. lurne contient (N 1 +N 2 ) boules dont N 1 sont blanches et N 2 sont noires. probabilité de tirer une boule blanche B est

2 Etudes des principales lois de probabilité La probabilité de tirer une boule noire N est Lunivers des éventualités comprend uniquement deux éventualités : = {B, N} on peut alors construire une V.A.

3 Loi binomiale : tirage dune boule Lunivers des éventualités est = {B, N}. On a : telle queX(B) = 1 avec une probabilité Pr {X = 1} = p et X(N) = 0 avec une probabilité Pr {X = 0} = q

4 Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise Lunivers des éventualités est = {BB, BN, NB, NN} X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p² X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2pq X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q² Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1

5 Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise Lunivers des éventualités est = {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN} X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p 3 X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3p²q X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3pq² X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q 3

6 Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise Pour quatre tirages avec remise, les probabilités sobtiennent par le développement de : (p+q) 4 = p 4 + 4p 3 q + 6p²q² + 4pq 3 + q 4 = 1

7 Généralisation on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), dobtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise sobtiennent par le développement de : (p+q) n = = 1

8 Loi binomiale La probabilité Pr{X = x}, dobtenir x boules blanches lors de n tirages avec remise est : Pr {X = x} = = loi binomiale Propriétés : E(X) = Var(X) = F(X) = Pr (X x) =

9 Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0,5 x Pr (X=x) 0 : 1(0,5) 0 (0,5) 6 = 1/64 = 0,016 1 : 6(0,5) 1 (0,5) 5 = 6/64 = 0,094 2 : 15(0,5) 2 (0,5) 4 = 15/64 = 0,234 3 : 20(0,5) 3 (0,5) 3 = 20/64 = 0,312 4 : 15(0,5) 4 (0,5) 2 = 15/64 = 0,234 5 : 6(0,5) 5 (0,5) 1 = 6/64 = 0,094 6 : 1(0,5) 6 (0,5) 0 = 1/64 = 0,016

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11 Fonction de répartition xF(x) = Pr (X x) x = 0: 1/64= 0,016 x = 1: 7/64= 0,110 x = 2 : 22/64 = 0,344 x = 3 : 42/64 = 0,656 x = 4: 57/64 = 0,890 x = 5 : 63/64 = 0,984 x = 6 : 64/64 = 1,000

12 F(X) = Pr(X x)

13 Exemple On considère un test constitué de QCM pour lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions. Quelle est : - la probabilité davoir au moins 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr (X 4) - la probabilité davoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr (X < 4) - lespérance mathématique E(X) - la variance Var(X)

14 Exercice Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse. p = 0,2 davoir une réponse juste et une probabilité q = 0,8 davoir une réponse fausse. Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisquà chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.

15 Exercice Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0,2, q= 0,8. X ;Formule de calcul; Pr (X=x) 0 :1(0,2) 0 (0,8) 6 = 0,262 1 :6(0,2) 1 (0,8) 5 = 0,393 2 :15(0,2) 2 (0,8) 4 = 0,245 3 :20(0,2) 3 (0,8) 3 = 0,082 4 :15(0,2) 4 (0,8) 2 = 0,015 5 :6(0,2) 5 (0,8) 1 = 0,001 6 :1(0,2) 6 (0,8) 0 = 0,00006

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17 exercice La probabilité Pr(X 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes Pr(X 4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0, , , ,017 La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1- Pr(X 4) = 0,983

18 exercice Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0,2 = 1,2 Variance : Var(X) = npq = 6 * 0,2 * 0,8 = 0,96

19 Exercice 2 Epidémie de méningite à méningocoque 7 sujets atteints Purpura Fulminans dans 21% des cas en général Probabilité davoir au moins 1 cas ? Probabilité davoir plus de 3 cas ?

20 Exercice 2 Soit X le nombre de PF Pr(X = 0) = 1 * 0,21 0 * 0,79 7 = 0,192 Pr(X = 1) = 7 * 0,21 1 * 0,79 6 = 0,357 Pr(X = 2) = 21 * 0,21 2 * 0,79 5 = 0,285 Pr(X = 3) = 35 * 0,21 3 * 0,79 4 = 0,126 Pr(X = 4) = 35 * 0,21 4 * 0,79 3 = 0,034

21 Exercice 2 Pr(X = 5) = 21 * 0,21 5 * 0,79 2 = 0,005 Pr(X = 6) = 7 * 0,21 6 * 0,79 1 = 0,0005 Pr(X = 7) = 1 * 0,21 7 * 0,79 0 = 0,00002 Donc Pr(X >0) = 1-0,192 = 0,808 Pr(X>2) = 0,166

22 Exemple : Essai Th. phase II Développement médicaments : 4 phases Phase : I / II / III / IV Phase II : Étudie lefficacité thérapeutique (relation effet dose) Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie médicament n a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets

23 Exemple : Essai Th. phase II Principe : inclusion de n 1 sujets dans la première étape, puis selon les résultats, ajout ou non d une seconde étape avec n 2 sujets. On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter létude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant. Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.

24 Exemple : Essai Th. phase II Habituellement, rejet dune molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0,2 rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d un taux de succès insuffisant (d une efficacité insuffisante) d où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l arrêt du développement de la molécule Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.

25 Exemple : Essai Th. phase II On sait que : Pr{X = x} = C x n p x q n-x Pr{X = 0} = C 0 0 p 0 q n = 0,8 n < 0,05 d où : n = ln(0,05)/ln(0,8) = et Pr(X=0|p=0,2) = 0,044. Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0,20.

26 Exemple : Essai Th. phase II Quelques autres valeurs du risque si n<14 : –n=13, p=0,055 –n=12, p=0,069 –n=11, p=0,086 –n=10, p=0,107 Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de létude (non étudiée ici).

27 Loi de Poisson Cest la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent). Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne). Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. Définition : une loi de probabilité suit une loi de Poisson si Pr(X=x) =

28 Loi de Poisson x est entier, E(X) = Var(X) = np = Exemple : X = 1 = 0,6 Pr (X=1) = = 0,33 On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions lorsque n et p 0 Pr {X = x} =

29 Densité de probabilité d une loi de Poisson

30 Loi de Poisson Soit n = 600 p = 0,001 ( np = 0,6 et nq = 0,4 ) Poisson Binomiale x Pr {X = x} = Pr {X = x} = 00,54880, ,32920, ,09870, ,01970, ,002960,00295

31 Loi de Poisson Applications : calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h. Soit 100 plages horaires Objectif de plannification

32 Loi de Poisson Si moyenne = = 3 Pr(X = 0) = 0,0498 5% des tranches horaires Pr(X = 1) = 0,1494 Pr(X = 2) = 0,2240 Pr(X = 3) = 0,2240 Pr(X = 4) = 0,1680 Pr(X = 5) = 0,1008 Pr(X = 6) = 0,0504 Pr(X > 6) = 0,0335

33 Exercice 2 (J. Bouyer) Dpt Calvados : h. et 15 cas par an de K thyroïde. Proba dobserver 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e /10! Plus long à calculer avec Binomiale


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