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1 PROBABILITÉS en 3ème PROBABILITÉS en 3ème. 2 1. Pourquoi laléatoire au collège ? 2. Le programme de troisième et un bref historique de lenseignement.

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1 1 PROBABILITÉS en 3ème PROBABILITÉS en 3ème

2 2 1. Pourquoi laléatoire au collège ? 2. Le programme de troisième et un bref historique de lenseignement des probabilités depuis Lapproche fréquentiste des probabilités et quelques notions de probabilités 4. Un aperçu des programmes de lycée

3 3 1. Pourquoi laléatoire au collège ?

4 4 « Pour permettre au citoyen daborder lincertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Objectifs : Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques, très utilisée dans de nombreux secteurs professionnels. Initier une réflexion sur la modélisation et la simulation.

5 5 Car cest : Une clé essentielle pour lanalyse et la compréhension des phénomènes incertains. Un enjeu de citoyenneté : être capable davoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Un enjeu de société : être en cohérence avec nos voisins européens.

6 6 2. Le programme de troisième et un bref historique de lenseignement des probabilités au lycée

7 7 Le programme de 3ème a pour objectifs : de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et denvisager ainsi la notion de résumé statistique ; de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. Les textes officiels

8 8 Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité [ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

9 9 Exemples dactivités, commentairesCommentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence nest exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.

10 10 Lévolution de lenseignement des probabilités depuis > 1990 : les probabilités sont présentées sous forme axiomatique. Le modèle étudié est fondé sur léquiprobabilité des événements élémentaires. Cela nécessite létude préalable des dénombrements. En 1986, la statistique descriptive arrive au collège. Une démarche de mathématisation du réel est initiée : observation schématisation modèle

11 11 En 1990, lapproche fréquentiste de la notion de probabilité apparaît dans les programmes de première. Pour introduire la notion de probabilité, on sappuiera sur létude de séries statistiques obtenues par répétition dune expérience aléatoire. Pour passer de lobservation de fréquences à la notion de probabilité, il y a nécessité de modéliser. (La probabilité dun événement est définie par addition de probabilités dévénements élémentaires.) Le choix du modèle peut être légitimé par des raisons de symétrie. Mais des situations ne relevant pas de léquiprobabilité peuvent aussi être étudiées et le dénombrement nest plus forcément nécessaire.

12 12 3. Quelques notions de probabilités

13 13 Une expérience aléatoire - est une expérience - elle peut être décrite par un protocole et peut êtrerépétée dans les mêmes conditions - on peut déterminer à lavance la liste des issues - on ne peut pas prévoir quelle en sera lissue au moment où on la réalise. Expériences aléatoires

14 14 La proportion de boules jaunes dans lurne est 2/5. Lorsquon tire une boule au hasard dans lurne, on a 2 chances sur 5 dobtenir une boule jaune. La probabilité dobtenir une boule jaune est 2/5. La réalisation dexpériences permet de donner du sens et de « casser » les fausses représentations. Probabilité dune issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison

15 15 Exemple du lancer de punaise La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers. On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par lexpérimentation. Probabilité obtenue par une approche fréquentiste

16 16 Lorsquon répète n fois une expérience aléatoire, la série des résultats obtenus est appelée échantillon de taille n. Les distributions des fréquences obtenues varient dun échantillon à lautre; cest ce quon appelle la fluctuation déchantillonnage. Lapproche fréquentiste des probabilités

17 17 La fluctuation déchantillonnage Formules utilisées : ENT(ALEA()*6)+1 et =NB.SI(A8:A57;"1")

18 18 On observe que la fréquence se stabilise lorsque la taille des échantillons augmente.

19 19 Énoncé vulgarisé. Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient grand. La loi des grands nombres

20 20 Simuler une expérience, c'est choisir un modèle de cette expérience (c'est-à-dire lui associer une loi de probabilité), puis effectuer une autre expérience suivant la même loi (et plus facile à réaliser). Statistique Probabilité Simulation Modélisation Modélisation et simulation

21 21 Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2 Exemple de simulation On peut simuler lune des expériences à laide de lautre, ou à laide dun tableur en utilisant la formule : =SI(ALEA()<0.5,P,F).

22 22 On dispose : - dune part, dun dé ayant une face rouge, deux faces noires et trois faces vertes - dautre part, dune pièce de monnaie. Les deux sont bien équilibrés. On lance le dé puis la pièce. 1. Écrire tous les résultats possibles. 2. Déterminer la probabilité dobtenir Vert et Pile. Un exemple dexpérience à deux épreuves

23 23 Présentation des résultats à laide dun arbre La probabilité dobtenir (V;P) est 3/12 soit 1/4 R V2V2 V1V1 N2N2 N1N1 V3V3 P P P P P P F F F F F F (R;P) (N 2 ;F) (V 1 ;P) (V 1 ;F) (V 2 ;F) (V 3 ;F) (R;F) (N 1 ;P) (N 1 ;F) (N 2 ;P) (V 2 ;P) (V 3 ;P)

24 24 On peut également présenter les résultats sous forme darbre pondéré. R V N P P P F F F 1/6 2/6 3/6 1/2 Au premier niveau, chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement correspondant. Un chemin représente l'intersection des événements qui le composent. Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que l'événement situé à son origine est réalisé. Ainsi, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches.

25 25 4. Les programmes actuels au lycée

26 26 Dans les programmes de seconde de 2000, la statistique descriptive opère une synthèse de ce qui a été étudié en collège (représentations, médiane, étendue), en approfondissant les propriétés de la moyenne. Dans les programmes de seconde de 2000, la statistique descriptive opère une synthèse de ce qui a été étudié en collège (représentations, médiane, étendue), en approfondissant les propriétés de la moyenne. Le programme actuel en seconde En statistique inférentielle, la population nest plus étudiée pour elle-même, mais considérée comme un échantillon dune population plus grande. Les séries statistiques étudiées sont obtenues par répétition dune expérience aléatoire. On travaille sur la distribution des fréquences, simulation et fluctuation déchantillonnage.

27 27 Un exemple de travail sur la simulation

28 28 Les programmes en première En statistique, les paramètres de dispersion (écart type et écart interquartile) sont introduits. Létude de séries de données (en particulier chronologiques) est approfondie en ES. Le lien entre arbre et tableau à double entrée y est effectué. La notion de probabilité est introduite ; le lien avec la distribution des fréquences est éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. En S, des expériences aléatoires de référence étant modélisées, on peut simuler des lois de probabilités simples.

29 29 La probabilité dun événement est égale à la somme des probabilités des issues qui les composent, de la même manière que pour la fréquence.

30 30 Les programmes en terminale En ES, lajustement affine de séries statistiques à deux variables est effectué. Le problème de ladéquation à une loi équirépartie est posé. La définition de la probabilité conditionnelle de B sachant A est justifiée par des calculs fréquentiels. La notion d indépendance permet de modéliser des expériences indépendantes, en particulier la répétition des expériences de référence vues en première. Des exemples de lois discrètes (en S et ES) et continues (en S) sont abordés.

31 31 Lien entre fréquences et probabilités conditionnelles Une enquête de marketing portant sur le choix entre deux abonnements A et B lors de lachat dun téléphone portable et le statut de lacheteur (salarié ou non salarié) a conduit au recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs, consignées dans le tableau suivant: Effectifs ABTotal Salarié Non salarié Total

32 32 Fréquences conditionnelles ABTotal Salarié0,7270,7330,729 Non salarié0,2730,2670,271 Total111 Notation Notation : f A ( S ) = 0,727 NS A B S S f ( A ) f ( B ) f A ( NS ) fA(S)fA(S)fA(S)fA(S) f B ( NS ) fB(S)fB(S)fB(S)fB(S)

33 33 Nouvelle forme de pensée à acquérir. Favoriser la démarche par lexpérience, laisser du temps, effectuer des allers-retours entre expérience et modèle. Fil rouge tout au long de lannée, qui permet de réinvestir dautres notions, en particulier de statistique. ConclusionConclusion


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