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Le programme de troisième (2008) partie probabilités extrait dune présentation de Michel HENRY, président de lIREM de Besançon.

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1 Le programme de troisième (2008) partie probabilités extrait dune présentation de Michel HENRY, président de lIREM de Besançon

2 Les programmes à la rentrée 2008 Classe de seconde : expérimentations numériques, observations des fluctuations déchantillonnage, simulation et distributions de fréquences Classes de première : expérience aléatoire, vocabulaire des événements, loi de probabilité sur un ensemble fini dissues, probabilité dun événement, loi des grands nombres, modèle déquiprobabilité. Classe de terminale S : probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, lois discrètes (Bernoulli, binomiale), lois continues (uniforme, exponentielle), adéquation de données à une loi équirépartie. Dans cette progression, la définition (scolaire) de la probabilité synthétise les deux approches dans le cadre de la modélisation : - Une expérience aléatoire donne lieu à n issues possibles notées x i. Un événement est représenté par un ensemble de ces issues. - On modélise cette expérience par une loi de probabilité P: aux x i on fait correspondre les p i tels que 0 p i 1 et p i = 1. Si p i = 1/n, la loi est équirépartie. - La probabilité dun événement est la somme des p i associées aux issues constituant cet événement (deuxième principe de Laplace). - On en déduit les propriétés: P(Ø) = 0, P() = 1, P(A c ) = 1 – P(A), P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

3 Le programme de troisième (2008), partie probabilités présentation parue au BO spécial du 21 avril 2007

4 Le programme de troisième (2008), partie probabilités La nouvelle rédaction du 30 mai 2008

5 Document daccompagnement du programme de troisième Le projet publié en mars 2008 rappelle dans son introduction : « Le langage élémentaire de la statistique (avec ses mots tels que moyenne, dispersion, estimation, fourchette de sondage, différence significative, corrections saisonnières, espérance de vie, risque, etc.) est, dans tous les pays, nécessaire à la participation aux débats publics : il convient donc dapprendre ce langage, ses règles, sa syntaxe, sa sémantique ; lenseignement de la statistique étant, par nature, associé à celui des probabilités, il sagit en fait dune formation à laléatoire ». (CREM, Rapport au Ministre, 2002). Le document indique dabord les « choix du programme », les différentes interprétations de la probabilité, considérations de symétries et approche fréquentiste : « Les justifications solliciteront lune quelconque des interprétations de la probabilité : interprétation fréquentiste dans sa variante propension ; mais certains élèves feront certainement appel à linterprétation épistémique, dans sa variante personnelle ou interpersonnelle ; la variante logique conduisant à faire appel au principe dindifférence (ou de raison insuffisante) ».

6 Proposition pour une progression en collège - Quest-ce que le hasard ? - Peut-on le quantifier ? - Des générateurs de hasard familiers : pièces, dés, roulettes, urnes… - La probabilité pour évaluer le poids des cas favorables par rapport à tous les cas possibles. - Léquiprobabilité comme hypothèse de modèle. - Fluctuations des fréquences et stabilisation. Usage de tableurs. - Caractère théorique de la probabilité : un nombre pour évaluer les « chances », approximativement mesuré par une fréquence stabilisée. Distinction entre modèle et réalité. - Mesure expérimentale approximative dune probabilité par la fréquence stabilisée. Punaises… Proposition pour une progression en collège

7 Les Baccalauréats professionnels à partir du Projet de programme Avril 2008

8 Les trois domaines du programme de mathématiques - Statistique et notion de probabilité ; - Algèbre – Analyse ; - Géométrie.

9 Statistique et notion de probabilité Ce domaine constitue un enjeu essentiel de formation du citoyen. La plupart des outils ont déjà été introduits au collège. Leur enseignement facilite, souvent de façon privilégiée, les interactions entre diverses parties du programme de mathématiques (traitements numériques et graphiques) et les liaisons entre les enseignements de différentes disciplines.

10 En vert, nous avons relevé le vocabulaire qui est censé avoir été introduit en 3° à partir de cette année dans les nouveaux programmes et qui peut donc logiquement être considéré comme des pré requis en 2 nde professionnelle. L'étude des fluctuations déchantillonnage permet de prendre conscience de lesprit de la statistique et précise la notion de probabilité. Elle porte sur des exemples de données expérimentales obtenues, - dans un premier temps, par quelques expériences (lancers de pièces, de dés, ou tirages dans une urne…) et, - dans un deuxième temps, par simulation à laide du générateur de nombres aléatoires dune calculatrice ou dun tableur.

11 Les objectifs principaux de ce domaine sont : - exploiter des données ; - apprendre à identifier, classer, hiérarchiser l'information ; - interpréter un résultat statistique ; - gérer des situations simples relevant des probabilités.

12 Le calcul dindicateurs, la construction de graphiques et la simulation dexpériences aléatoires à laide de logiciels informatiques sont des outils indispensables et constituent une obligation de formation.

13 programme de mathématiques des classes de seconde professionnelle: · Statistique à une variable ; · Fluctuations d'une fréquence selon les échantillons, notion de probabilité ; · Information chiffrée, proportionnalité* ; · Résolution d'un problème du premier degré ; · Notion de fonction ; · Génération de fonctions à laide de fonctions de référence ; · De la géométrie dans l'espace à la géométrie plane ; · Géométrie et nombres.

14 1. STATISTIQUE ET NOTION DE PROBABILITÉ … 1.2 Fluctuations dune fréquence selon les échantillons, notion de probabilité. La notion de fluctuation d'échantillonnage, essentielle en statistique, est abordée dans cette partie du programme en étudiant la variabilité dobservation dune fréquence. Elle favorise une expérimentation de laléatoire. Lobjectif de ce module est de faire comprendre que le hasard suit des lois et de préciser lapproche par les fréquences de la notion de chance ou probabilité initiée en classe de troisième. Après une expérimentation physique pour une taille fixée des échantillons, la simulation à l'aide du générateur de nombres aléatoires dune calculatrice ou du tableur permet daugmenter la taille des échantillons et dobserver des résultats associés à la réalisation dun très grand nombre dexpériences.

15 CapacitésConnaissancesCommentaires Expérimenter, dabord à laide de pièces, de dés ou durnes, puis à laide dune simulation informatique prête à lemploi, la prise déchantillons aléatoires de taille n fixée, extraits dune population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Tirage au hasard et avec remise de n éléments dans une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Toutes les informations concernant loutil de simulation sont fournies. Déterminer létendue des fréquences de la série déchantillons de taille n obtenus par expérience ou simulation. Fluctuation dune fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée. Stabilisation relative des fréquences quand n augmente. Notion de probabilité. La propriété de stabilisation relative des fréquences vers la probabilité est mise en évidence graphiquement à laide dun outil de simulation.

16 Programme des classes de première professionnelle 1. STATISTIQUE ET NOTION DE PROBABILITÉ. 1.2 Fluctuation dune fréquence selon les échantillons (groupements A, B et C) Lobjectif de ce module est de consolider et dapprofondir létude, initiée en seconde professionnelle, de la variabilité lors dune prise déchantillon, pour favoriser la prise de décision dans un contexte aléatoire. La consolidation des notions déjà acquises en seconde professionnelle se traite en prenant appui sur des exemples de situations concrètes, issues de la vie courante, du domaine professionnel ou des thématiques parues au B.O.E.N..

17 CapacitésConnaissancesCommentaires Expérimenter, à laide dune simulation informatique, la prise déchantillons aléatoires de taille n fixée, extraits dune population où la fréquence p relative à un caractère est connue Distribution déchantillonnage dune fréquence. Calculer la moyenne de la série des fréquences fi des échantillons aléatoires de même taille n prélevés. Comparer la fréquence p de la population et la moyenne de la série des fréquences fi des échantillons aléatoires de même taille n prélevés, lorsque p est connu. Moyenne de la distribution déchantillonnage dune fréquence. La population est suffisamment importante pour pouvoir assimiler les prélèvements à des tirages avec remise. La stabilisation vers p, lorsque la taille n des échantillons augmente, de la moyenne des fréquences est mise en évidence graphiquement à laide dun outil de simulation. Distinguer, par leurs notations, la fréquence p de la population et les fréquences fi des échantillons aléatoires. Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à lintervalle donné [p –1/ n ; p +1/ n]. Intervalle de fluctuation.Se restreindre au cas où n 30, np 5 et n(1– p) 5 : la connaissance de ces conditions nest pas exigible. La formule de lintervalle est donnée. Exercer un regard critique sur les données statistiques en s'intéressant à la « variabilité naturelle » des fréquences d'échantillon, c'est-à dire environ 95% des échantillons fournissent une fréquence dans lintervalle [p –1/ n ; p +1/ n].

18 Programme des classes de terminale professionnelle 1. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS 1.2 Probabilités (groupements A, B et C) Lobjectif de ce module est dentraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples à mettre en œuvre, et à calculer des probabilités. Tout développement théorique est exclu. La notion de probabilité est introduite en sappuyant sur lobservation de la fluctuation déchantillonnage dune fréquence et sur la relative stabilité de cette fréquence lorsque lexpérience est répétée un grand nombre de fois. Les études menées sappuient sur des exemples simples issus du domaine technologique ou de la vie courante. Les capacités figurant au programme de première professionnelle, concernant la fluctuation d'échantillonnage, restent exigibles.

19 On arrive à plus de formalisme tant dans la notation que dans la précision du vocabulaire, sachant que fluctuation, échantillon et aléatoire sont alors maîtrisés puisque vus depuis la 3°. On définit donc les termes dunivers. Lévènement noté A comme partie de lunivers. La notion de probabilité est définie de façon formelle comme le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. On définit les propriétés sur les événements contraires, incompatibles…

20 CapacitésConnaissancesCommentaires Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement. Expérience aléatoire, événement élémentaire, univers, événement. Réunion et intersection dévénements. Événements incompatibles, événements contraires. Se limiter au cas où lensemble des événements élémentaires est fini. La connaissance des symboles (réunion), (intersection) et la notation Ā (événement contraire) est exigible. Calculer la probabilité dun événement par addition des probabilités dévénements élémentaires. Reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues dexpériences aléatoires connues : tirages aléatoires avec ou sans remise, urnes. Calculer la probabilité dun événement Contraire Ā. Calculer la probabilité de la réunion dévénements incompatibles. Utiliser la formule reliant la probabilité de A B et de A B. Probabilité dun événement. Événements élémentaires équiprobables. Événements élémentaires non équiprobables. Faire le lien avec les propriétés des fréquences. Les tirages simultanés sont exclus. Entraîner les élèves à utiliser à bon escient des représentations pertinentes (arbres, tableaux, diagrammes) pour organiser et dénombrer des données relatives à une expérience aléatoire. Ces représentations constituent une preuve. Toute utilisation de formules darrangement ou de combinaison est hors programme. La généralisation à des cas où les événements élémentaires ne sont pas équiprobables se fait à partir dexemples simples. La notion dindépendance est hors programme.


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