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1 PROBABILITÉS en 3ème. 2 Introduction Pourquoi laléatoire au collège ? Textes officiels Expériences aléatoires Notions élémentaires de probabilité Un.

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1 1 PROBABILITÉS en 3ème

2 2 Introduction Pourquoi laléatoire au collège ? Textes officiels Expériences aléatoires Notions élémentaires de probabilité Un exemple dactivité Conclusion

3 3 Introduction Des représentations du hasard chez des élèves de CM2 : – « Choses imprévisibles qui viennent de lextérieur » – « On produit du hasard en répondant au pif » – « Choses relatives aux coïncidences » – « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance» – « Le hasard nexiste pas »

4 4 Etymologie : – Hasard vient de larabe « az-zahr » qui signifie jet de dé –Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé – Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber

5 5 Pourquoi laléatoire au collège ? « Pour permettre au citoyen daborder lincertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres. Une clé essentielle pour lanalyse et la compréhension des phénomènes incertains.

6 6 Un enjeu de citoyenneté : - être capable de distinguer le hasard « calculable » du hasard de la contingence fortuite. - être capable davoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps à enseigner laléatoire, parfois depuis lécole primaire.

7 7 Les textes officiels Le programme de 3 è me a pour objectifs : de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et denvisager ainsi la notion de résumé statistique ; de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.

8 8 Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité [ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

9 9 Exemples dactivités, commentaires Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence nest exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.

10 10 Programme actuel de seconde Contenu Statistiques descriptives : Représentations - Moyenne – Médiane - Etendue. Propriétés de la moyenne. Simulations.

11 11 Programme actuel de seconde Le travail sera centré sur : la réflexion conduisant au choix de résumés numériques dune série statistique quantitative. la notion de fluctuation déchantillonnage. la simulation à laide dun générateur aléatoire.

12 12 De lexpérience à la simulation(1) Lancer effectif de dés : Lexploitation des résultats permet de réinvestir ce qui a été vu en statistique descriptive. La mutualisation des résultats permet dobtenir un effectif total satisfaisant pour une première observation de certains phénomènes (par exemple : a-t-on plus de chance dobtenir un total de 4 ou 5 en lançant 2 dés ?). Une fois les caractéristiques de lexpérience comprises et acceptées (chaque face du dé a la même chance dapparaître, le dé ne se souvient pas du résultat que lon vient dobtenir), on peut passer à létape suivante.

13 13 De lexpérience à la simulation(2) Utilisation du générateur de nombres aléatoires de la calculatrice ou du tableur : Lélève peut, grâce à sa calculatrice ou au tableur, simuler un plus grand nombre dexpériences, cela permet déviter des lancers de dés trop fastidieux. Lélève doit être capable de décider dune stratégie de simulation, par exemple : Comment simuler un tirage d une boule dans une urne contenant n boules blanches et p boules noires ?

14 14 En première Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : Les probabilités. On définit ainsi les correspondants théoriques des caractères, moyennes et écarts-types. La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors lemploi des simulations. En terminale le paragraphe « Adéquation à une loi équirépartie » permet de réinvestir les statistiques vues en seconde et première tout en constituant une introduction à la problématique des tests.

15 15 Expériences aléatoires Une expérience aléatoire - est une expérience - elle peut être décrite par un protocole et peut êtrerépétée dans les mêmes conditions - on peut déterminer à lavance la liste des issues - on ne peut pas prévoir quelle en sera lissue au moment où on la réalise.

16 16 La réalisation dexpériences permet de donner du sens et de « casser » les fausses représentations. On utilise un matériel varié : dés, pièces de monnaie,urnes et boules de couleur, punaises, etc…

17 17 Notions élémentaires de probabilité Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2 Probabilité dun résultat (dune issue) obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison.

18 18 La proportion de boules jaunes dans lurne est 2/5. On a 2 chances sur 5 dobtenir une boule jaune. La probabilité dobtenir une boule jaune est 2/5.

19 19 Expérience à deux épreuves : un exemple On dispose : -dune part, dun dé ayant une face rouge, deux faces noires et trois faces vertes -et dautre part, dune pièce de monnaie (les deux, bien équilibrés). On lance le dé puis la pièce. 1. Ecrire tous les résultats possibles. 2. Déterminer la probabilité dobtenir Vert et Pile.

20 20 Présentation des résultats : Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer les probabilités. Les « couleurs » ne sont pas équiprobables.

21 21 Présentation des résultats : tableau La probabilité dobtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

22 22 Résumé

23 23 Présentation des résultats : arbre La probabilité dobtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4 R V2V2 V1V1 N2N2 N1N1 V3V3 P P P P P P F F F F F F (R;P) (N 2 ;F) (V 1 ;P) (V 1 ;F) (V 2 ;F) (V 3 ;F) (R;F) (N 1 ;P) (N 1 ;F) (N 2 ;P) (V 2 ;P) (V 3 ;P)

24 24 Arbre : autre présentation Vérifications : Sommes égales à 1 R V N P P P F F F 1/6 2/6 3/6 1/2

25 25 Pour un grand nombre dexpériences, en moyenne : 3/6 dentre elles « donneront » Vert pour le lancer de dé. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, la moitié dentre elles « vont donner » Pile. 1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P). La probabilité dobtenir (V;P) est donc

26 26 Probabilité dun résultat (dune issue) obtenue par approche « fréquentiste » Exemple du lancer de punaise La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers. On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par lexpérimentation.

27 27 « Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je lance deux dés, quelle valeur faut-il que jannonce avant le lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? » 1) Réalise 60 lancers de deux dés et note, à chaque fois, la somme des points obtenus. Donne une synthèse de tes résultats. 2) Représente graphiquement tes résultats. 3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ? Explique ta réponse. Un exemple dactivité

28 28

29 29 Graphiques

30 30 A lintérieur de la classe, les échantillons varient, fluctuent. Cest le regard sur un grand nombre de résultats qui peut permettre de parier. Quy avait-il de prévisible ? Après débat et mise en commun, on peut dégager les points suivants :

31 31 Pour répondre à cette dernière question, on peut faire un tableau comme celui qui suit, qui indique et dénombre les différents totaux :

32 32 Voir dans les documents complémentaires « Probas.zip » : Simulation d'un lancer de deux dés Il est possible alors de montrer aux élèves une simulation dun lancer de deux dés.

33 33 Déjà enseigné dans de nombreux pays. Nouvelle forme de pensée à acquérir. Fil rouge tout au long de lannée. Favoriser la démarche par lexpérience et laisser du temps. Allers-retours entre expérience et modèle. Document daccompagnement à venir. Conclusion Menu général …


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