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« De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le.

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1 « De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le hasard n'est capricieux qu'au coup par coup. » M. SERRES et N. FAROUKI, « Le Trésor » - article loi des grands nombres.

2 Domaines dapplications des probabilités: Jeux de hasard bien sûr Statistiques (traitement et interprétation des données) Théorie des jeux (utilisée en économie) Mathématiques financières (cours de la bourse) Etudes probabilistes de sureté où lon évalue la probabilité doccurrence dun évènement indésirable (évaluation des risques, des défauts)

3 Probabilités Vocabulaire Expérimentation –propriétés- Un exemple dapproche par démarche dinvestigation auprès dune classe de seconde bac pro

4 Préparation en amont: faire rechercher par les élèves les définitions des mots suivants: Hasard déterminisme probabilités

5 Toujours dans cette préparation en amont du cours, faire préparer des instruments de mesure: Un dé darête 2cm et dont les faces sont numérotées de 1 à

6 Un tétraèdre fabriqué à partir de 4 cercles de diamètre 3cm dans lesquels on trace des triangles équilatéraux (une face Rouge, une Verte, deux jaunes)

7 Et une pièce de monnaie Pile /Face (pas tranche…) Oui non

8 Déroulement de la séquence 1 (2heures) Répartition des élèves par groupes (2;3;4 élèves) : groupe1:G1,groupe 2: G2 etc… Chaque groupe possède les trois instruments de mesure (la pièce, le tétraèdre, le dé) On distribue un « menu du jour » vocabulaire

9 Menu du jour: vocabulaire des probabilités Expérience Issue Evènement élémentaire Non élémentaire Certain Impossible Aléatoire Equiprobabilité

10 Puis on laisse les groupes se débrouiller… La seule contrainte est que chaque groupe remette un compte rendu (noté)avec ses définitions. Intervenir le moins possible, Ne pas répondre directement aux questions mais proposer des pistes de réflexion…

11 Ce travail peut durer de 40 minutes à une heure… Ensuite…

12 On ramasse les comptes rendus et on va faire la synthèse sous forme dun organigramme du vocabulaire utilisé en probabilités A nouveau, il semble préférable que des élèves passent au tableau pour écrire leurs définitions.

13 Vocabulaire des probabilités experienceissueevenement elementaireNon elementairecertainimpossible Pièce Tétraèdre dé

14 Déroulement de la séquence 2 (2heures) Maintenant que les élèves savent de quoi on parle, il faut les faire expérimenter ! On pose la question ouverte: « que peut on faire comme expérience, combien de mesures? Comment peut on procéder ?Etc… »

15 On répartit à nouveau les élèves par groupes (2;3;4 élèves). On doit avoir 50 mesures par objet et par groupe récapitulées dans un tableau de ce type:(pour la pièce) De même pour le tétraèdre et le cube. PileFaceTotal Effectif fréquence0,460,54 1

16 Un élève passe au tableau et recense les résultats des groupes: Par exemple: Nombre de Pile: = 74 Nombre de Face: =76

17 A nouveau : un tableau récapitulatif mais ici sur un plus grand nombre déchantillons et cest là que cest intéressant:(3groupes) A ce moment là, on fait réagir les élèves sur le fait que la fréquence se rapproche de 0,50 (ce quils attendaient mais dont ils étaient loin avec leurs seuls résultats ) PileFaceTotal Effectif fréquence0,490,51 1

18 La définition se fait toute seule… « Lorsquon effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation dun évènement se rapproche dune fréquence théorique appelée probabilité » On peut même en déduire des propriétés sur les probabilités : 0

19 Pour le dé, étant donné sa petite taille les résultats peuvent ne pas être ceux qui sont attendus (cest à dire une équiprobabilité de 1/6). Ceci permet de faire réagir les élèves sur le fait que linstrument de mesure doit être idéal !Parfaitement équilibré. Les mesures seraient même différentes dune pièce de monnaie à une autre !

20 On répond bien aux préconisations du programme:

21 Expérimenter la « loi des grands nombres », du point de vue des fluctuations (à taille déchantillon fixée) et des probabilités (lorsque la taille de léchantillon augmente).

22 Évaluer la probabilité dun événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de lévénement quand n augmente).

23 Faire preuve desprit critique face à une situation aléatoire simple. (Probabilités). Faire remarquer que la loi des grands nombres peut exceptionnellement etre mise en défaut et que la moyenne des lancers (3,5 pour un dé) ne tende pas vers lespérance (on pourrait ne jamais avoir de 1 par exemple) …mais cela peut il arriver ?

24 Obtenir la probabilité dun événement dans le cas dune situation aléatoire simple: Exercice Annie aime les bonbons rouges. Le sachet A contient 14 bonbons rouges et 6 bonbons jaunes. Le sachet B contient 6 bonbons rouges et 2 bonbons jaunes. Les sachets sont opaques et Annie ne peut prendre quun bonbon au hasard. Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plus grande ?

25 La probabilité se résume à : Probabilité = nombre de cas favorables/nombre de cas possibles Cest ce genre dexercices quon retrouve dans les manuels scolaires.

26 Le hasard cest Dieu qui se promène incognito… Einstein Ce que nous appelons hasard nest et ne peut etre que la cause ignorée dun effet connu. Voltaire


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