ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE

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1 ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE
Définition Exercice 1 Propriété 1 Exercice 2 Propriété 2 Exercice 3 Exemple

2 Angle inscrit M O B Angle au centre A Arc de cercle intercepté par les deux angles

3 M O B A AMB est un angle inscrit

4 A B O AOB est un angle au centre

5 Propriété de l’angle inscrit M Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc O B A alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

6 N M O B A Propriété Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.

7 M AMB = 70° N O ANB = 70° B 70  2 AOB = = 140° A
Exemple d’application : Sans effectuer la moindre mesure, trouver les mesures des angles : M AMB = 70° N O ANB = 70° B 70  2 AOB = = 140° A

8 Exercice 1 1.Tracer [AB] tel que AB = 7 cm. Placer un point C tel que : BAC = 70° et ABC = 60°. 2.Construire le cercle C circonscrit au triangle ABC et appeler O son centre. On laissera les traits de construction. 3.Donner la mesure de l’angle AOC en justifiant la réponse.

9 1. et 2.

10 3. L’angle au centre AOC et l’angle inscrit ABC interceptent le même arc de cercle donc AOC = 2ABC AOC = 2  60° AOC = 120°

11 Exercice 2 1.Tracer un cercle de centre O et de diamètre [AB] mesurant 8 cm. Placer un point E sur ce cercle tel que l’angle BAE mesure 52°. 2.Montrer que le triangle AEB est rectangle. 3.Sur le demi-cercle d’extrémités A et B, qui ne contient pas E, placer un point K. Quelle est la valeur exacte des angles EOB et  EKB ? Justifier.

12 1.

13 2. E est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABE est rectangle en E.

14 3. OEA est isocèle en O donc les angles à la base OEA et OAE sont égaux. OEA = OAE = 52° AOE = 180° – 252° AOE = 180° - 104° AOE = 76°

15 3. AOE = 76° AOE et EOB sont supplémentaires donc EOB = 180° - 76° EOB = 104°

16 3. Les angles inscrits EAB et EKB interceptent le même arc de cercle donc EKB = EAB EKB = 52°

17 Exercice 3 ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°. 1)Tracer ce triangle. 2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre. 3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

18 4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD
4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure. 5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

19 ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°.
1)Tracer ce triangle. B A D 40° 9 cm

20 2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre. Dans le triangle ABD rectangle en B : B A D 40° 9 cm BD AB tanBAD = tan40° 1 BD 9 = BD = 9  tan40° BD  7,6 cm à 1 mm près

21 3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD
3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse. Le triangle ABD est rectangle en D donc le centre I de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AD]. B A D 40° 9 cm  I

22 4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD
4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure. B A D 40° 9 cm S   I

23 5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.
(AS) est la bissectrice de l’angle BAD donc SAB = 40° : 2 SAB = 20° B A D 40° 9 cm Les angles inscrits SIB et SAB interceptent le même arc de cercle donc S   I SIB = 20°

24 Fin