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- 2 droites sont parallèles ? - 2 droites sont perpendiculaires Comment démontrer que : - un triangle est rectangle ? Comment rédiger une démonstration.

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1 - 2 droites sont parallèles ? - 2 droites sont perpendiculaires Comment démontrer que : - un triangle est rectangle ? Comment rédiger une démonstration ? - 2 droites ne sont pas parallèles ? - un triangle nest pas rectangle ? - un triangle est isocèle ? - un triangle est équilatéral ? - un quadrilatère est un parallélogramme - un … est un rectangle ? - un … est un losange ? - un quadrilatère est un carré ? - un point est le milieu dun segment ? - une droite est médiane, médiatrice,hauteur ou bissectrice ? - un point est un point particulier ? - calculer la longueur dun segment ? - deux angles sont égaux ?

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3 K I J C Soit un cercle C de diamètre [IJ] et K un point de ce cercle. Montrer que le triangle IJK est rectangle. 1. En écrivant la propriété 2. Sans écrire la propriété

4 donc le triangle IJK est rectangle en K. K I J C On écrit les hypothèses : [IJ] est un diamètre du cercle C. K est un point du cercle C. On écrit la propriété : Si un côté dun triangle est le diamètre dun cercle et si le 3 ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. On donne la conclusion :

5 K est un point du cercle de diamètre [IJ] donc le triangle IJK est rectangle en K. K I J C On écrit précisément les hypothèses et on donne directement la conclusion sans réciter la propriété que lon utilise :

6 Comment démontrer que deux droites sont parallèles ? 1. Avec les droites PP 2. Avec les angles PP 3. Avec les transformationsPP 5. Avec la droite des milieux 4. Avec les quadrilatèresP P 6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès PEx

7 1. Avec les droites P Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. d1d1 d2d2 d3d3

8 1. Avec les droites P Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. d1d1 d3d3 d2d2

9 2. Avec les angles P Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux alors elles sont parallèles. d d'

10 2. Avec les angles d d' P Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux alors elles sont parallèles.

11 3. Avec les transformations P Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. d d'

12 3. Avec les transformations P. Si une droite est limage dune droite par une translation alors ces deux droites sont parallèles. d d'

13 4. Avec les quadrilatères P Si un quadrilatère est un parallélogramme quelconque, un losange, un rectangle ou un carré alors ses côtés opposés sont parallèles. //

14 5. Avec la droite des milieux P Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

15 6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès P Si dans les triangles AMN et ABC : - A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C ; alors (MN) et (BC) sont parallèles. = AM AB AN AC Exemple

16 Exemple : Démontrer que (JK) et (ML) sont parallèles. Dans les triangles IML et IJK : - J, I et L sont alignés dans le même ordre que K, I et M. I L M K J 12 cm 8 cm 5 cm 7,5 cm

17 I L M K J 12 cm 8 cm 5 cm 7,5 cm = IM IK 5858 = IL IJ 7,5 12 et 5 12 = 60 et 8 7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM IK = IL IJ -

18 = IM IK 5858 = IL IJ 7,5 12 et 5 12 = 60 et 8 7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM IK = IL IJ - Daprès la réciproque de la propriété de Thalès, (JK) et (ML) sont parallèles.

19 Comment démontrer que deux droites ne sont pas parallèles ? 6 cm 8 cm 4 cm 5 cm R V U T S

20 6 cm 8 cm 4 cm 5 cm R V U T S - R, U et S sont alignés dans le même ordre que R, V et T. Dans les triangles RUV et RST : RU RS RV RT = = = = 30 Les produits en croix ne sont pas égaux donc RU RS RV RT donc (UV) et (ST) ne sont pas parallèles.

21 Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ? 1. Les droites 2. La tangente à un cercle 3. Les droites remarquables Avec : 4. Les quadrilatères P P PP PP

22 1. Avec les droites P Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à lune alors elle est perpendiculaire à lautre. d1d1 d2d2 d3d3

23 2. Avec la tangente à un cercle P Si une droite est la tangente à un cercle alors elle est perpendiculaire au rayon au point de contact. A O d C

24 3. Avec les droites remarquables du triangle P Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu. d

25 Avec les droites remarquables du triangle 3. Avec les droites remarquables du triangle Si dans un triangle une droite est une hauteur alors elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. d

26 4. Avec les quadrilatères P Si un quadrilatère est un un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.

27 4. Avec les quadrilatères P Si un quadrilatère est un un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires.

28 Comment démontrer quun triangle est rectangle ? 1. Avec les angles 2. Avec un cercle 3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore P P PEx

29 1. Avec les angles P Si un triangle a deux angles complémentaires (leur somme est égale à 90°) alors il est rectangle. C B A ABC + ACB = 90°

30 2. Avec un cercle P Si un côté dun triangle est le diamètre dun cercle et si le 3 ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. A O B C C

31 3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore P Si un côté dun triangle est le diamètre dun cercle et si le 3 ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. B A C BC²=AB²+AC² plus grand côté Exemple

32 Exemple : Démontrer que le triangle RST est rectangle. 4 cm T 5 cm 3 cm R S

33 4 cm Dans le triangle RST, [RT] est le plus long côté. RT² = 5²ST²+SR² = 3²+4² RT² = 25ST²+SR² = 9+16 ST²+SR² = 25 RT² = ST² + SR² Daprès la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S. T 5 cm 3 cm R S

34 Comment démontrer quun triangle nest pas rectangle ? Exemple : Démontrer que le triangle EFG nest pas rectangle. 12 cm 9 cm 8 cm G F E

35 Dans le triangle EFG, [FG] est le plus long côté. 12 cm 9 cm 8 cm G F E FG² = 5²EF²+EG² = 8²+9² FG² = 25EF²+EG² = EF²+EG² = 145 FG² EF² + EG² donc le triangle EFG nest pas rectangle.

36 Comment démontrer quun triangle est isocèle ? 1. Avec les côtés 2. Avec les angles

37 1. Avec les côtés P Si un triangle a deux côtés égaux alors il est isocèle. Sommet principal Base

38 2. Avec les angles P Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.

39 Comment démontrer quun triangle est équilatéral ? 1. Avec les côtés 2. Avec les angles

40 1. Avec les côtés P Si un triangle a trois côtés égaux alors il est équilatéral.

41 2. Avec les angles P Si un triangle a trois angles égaux alors il est équilatéral.

42 Comment démontrer quun quadrilatère est un parallélogramme ? 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec les côtés opposés Avec les angles 5. Avec un centre de symétrie 6. Avec les vecteurs Avec une translation

43 1. Avec la définition P Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors cest un parallélogramme. //

44 2. Avec les diagonales P Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors cest un parallélogramme.

45 3. Avec les côtés opposés (1) P Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors cest un parallélogramme.

46 3. Avec les côtés opposés (2) P Si un quadrilatère (non croisé) a 2 côtés opposés parallèles et de même longueur alors cest un parallélogramme. //

47 4. Avec les angles P Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux alors cest un parallélogramme.

48 5. Avec un centre de symétrie P Si un quadrilatère a un centre de symétrie alors cest un parallélogramme.

49 6. Avec les vecteurs (1) P Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). D BA C

50 6. Avec les vecteurs (2) P Si AB + AC = AD alors ABDC est un parallélogramme. D C B A

51 7. Avec une translation P Si D est limage de C par la translation de vecteur AB alors ABDC est un parallélogramme D B A C

52 Comment démontrer quun … est un rectangle ? 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec un angle droit

53 1. Avec la définition P Si un quadrilatère a trois angles droits alors cest un rectangle.

54 2. Avec les diagonales P Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors cest un rectangle.

55 3. Avec un angle droit P Si un parallélogramme a un angle droit alors cest un rectangle.

56 Comment démontrer quun … est un losange ? 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec les côtés 1. Avec la définition

57 1. Avec la définition P Si un quadrilatère a quatre côtés égaux alors cest un losange.

58 2. Avec les diagonales P Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors cest un losange.

59 3. Avec les côtés P Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors cest un losange.

60 Comment démontrer quun quadrilatère est un carré ? P Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange alors cest carré.

61 1. Avec la symétrie centrale 3. Avec les droites remarquables du triangle : 4. Avec un milieu et une parallèle 5. Avec un parallélogramme 6. Avec les vecteurs 2. Avec le centre dun cercle Médiatrice- Médiane 21 Comment démontrer quun point est le milieu dun segment ?

62 P Si deux points A et Asont symétriques par rapport à O alors O est le milieu de [AA]. A A O 1. Avec la symétrie centrale

63 2. Avec le centre dun cercle P Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. A B C O

64 3. Avec les droites remarquables du triangle (1) Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu. d

65 3. Avec les droites remarquables du triangle (2) P Si dans un triangle une droite est une médiane alors elle passe par un sommet et par le milieu du côté opposé d

66 4. Avec un milieu et une parallèle P Si dans un triangle une droite passe par le milieu dun côté et si elle est parallèle à un 2 ème côté alors elle passe par le milieu du 3 ème côté. //

67 5. Avec un parallélogramme P Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

68 P Si AM = MB alors M est le milieu de [AB]. 6. Avec les vecteurs (1) A B M

69 6. Avec les vecteurs (2) P Si AB = DC alors [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. D BC A

70 Comment montrer qu'une droite est médiane, médiatrice hauteur ou bissectrice ? Médiane Médiatrice Bissectrice d'un angle Hauteur "Média" "Bi"

71 Médiane Une médiane et une médiatrice passent par un milieu : leur nom contient "média" A B C

72 Médiane On montre qu'elle passe par un sommet et par le milieu d'un côté. On montre qu'elle passe par le milieu d'un côté et par le point d'intersection de 2 médianes. On montre qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 médianes.

73 qu'elle est perpendiculaire à un côté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 médiatrices. Médiatrice C O qu'elle passe par le milieu d'un côté et qu'elle est perpendiculaire à ce côté. qu'elle passe par le milieu d'un côté et par le point d'intersection de 2 médiatrices.

74 Bissectrice d'un angle Une bissectrice partage en angle en 2 angles égaux : son nom contient "bi" qui veut dire deux".

75 Bissectrice On montre qu'elle passe par un sommet et qu'elle partage l'angle en 2 angles égaux. On montre qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 bissectrices. Pas de 3 ème possibilité !

76 qu'elle est perpendiculaire à un côté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 hauteurs. Hauteur qu'elle passe par un sommet et qu'elle est perpendiculaire au côté opposé. qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 hauteurs.

77 Comment montrer qu'un point est un point particulier dun triangle ? Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Centre du cercle inscrit Orthocentre

78 Centre de gravité On montre que cest le point dintersection de 2 médianes. Centre de gravité G

79 Centre du cercle circonscrit O (autour du triangle) On montre que cest le point dintersection de 2 médiatrices.

80 Centre du cercle inscrit Centre du cercle inscrit (à lintérieur du triangle) I On montre que cest le point dintersection de 2 bissectrices.

81 Orthocentre H On montre que cest le point dintersection de 2 hauteurs.

82 Comment montrer que deux segments ont la même longueur ? 1. Avec un triangle 2. Avec un quadrilatère 3. Avec un polygone régulier 4. Avec une médiatrice 5. Avec une transformation

83 1. Avec un triangle On montre qu'ils sont les côtés dun triangle isocèle. On montre qu'ils sont les côtés dun triangle équilatéral.

84 On montre qu'ils sont les côtés opposés dun parallélogramme, dun rectangle, dun losange ou dun carré. 2. Avec un quadrilatère On montre qu'ils sont les côtés consécutifs dun cerf-volant, dun losange ou dun carré.

85 P Si un polygone est régulier alors tous ses côtés sont égaux. 3. Avec un polygone régulier

86 P Si un point appartient à la médiatrice dun segment alors il est à la même distance des extrémités du segment. 4. Avec une médiatrice A B d M

87 5. Avec une transformation P Limage dun segment par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un segment de même longueur.

88 P Limage dun cercle par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un cercle de même rayon. 5. Avec une transformation

89 Comment calculer la longueur dun segment ? 1. Avec 2 milieux 2. Avec une médiane 3. Avec un centre de gravité 4. Avec la propriété de Thalès 5. Avec le théorème de Pythagore Calculer la longueur de lhypoténuse 6. Avec la trigonométrie Calculer la longueur dun côté de langle droit Calculer la longueur de lhypoténuse Calculer la longueur dun côté de langle droit

90 P Si dans un triangle un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés alors il a pour longueur la moitié du 3ème côté. 1. Avec 2 milieux

91 2. Avec une médiane P Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l'angle droit a pour longueur la moitié de l'hypoténuse. O A B C

92 P Le centre de gravité est situé au 1/3 de chaque médiane à partir du milieu dun côté. 3. Avec un centre de gravité Centre de gravité G A A

93 G A A G est situé au de AA à partir de A 1313 GA = G est situé aux de AA à partir de A GA = Calculer GA et GA sachant que AA = 6 cm = 2 cm 6 = 4 cm 2323

94 4. Avec la propriété de Thalès A M N C B A M N C B Triangles "emboîtés" Triangles "en papillon"

95 A M N C B A M N C B Si dans les triangles AMN et ABC : P AM AB AN AC alors= = MN BC - (MN) et (BC) sont parallèles. - A, M et B sont alignés - A, N et C sont alignés 4. Avec la propriété de Thalès

96 (JK) // (RP). 3,5 cm S K J P R 7 cm 5 cm 4 cm Calculer JK et RS Dans les triangles SJK et SRP : - (JK) et (RP) sont parallèles. - K, S et R sont alignés - J, S et P sont alignés SJ SP SK SR alors= = JK RP

97 4. Avec la propriété de Thalès (JK) // (RP). 3,5 cm S K J P R 7 cm 5 cm 4 cm Calculer JK et RS SJ SP SK SR alors= = JK RP soit encore SR = = JK 3,5

98 4. Avec la propriété de Thalès (JK) // (RP). 3,5 cm S K J P R 7 cm 5 cm 4 cm Calculer JK et RS SR = = JK 3,5 Calcul de JK : 5757 = JK 3,5 JK= 5 3,5 7 2,5 cm=JK donc

99 4. Avec la propriété de Thalès (JK) // (RP). 3,5 cm S K J P R 7 cm 5 cm 4 cm Calculer JK et RS SR = = JK 3,5 Calcul de RS : 5757 = 4 SR = ,6 cm=SR donc

100 5. Avec le théorème de Pythagore P 65 Si ABC est un triangle rectangle en A alors A B C Hypoténuse : côté opposé à l'angle droit Triangle rectangle en A On a aussiAB² = BC² - AC² etAC² =BC² - AB² BC² = AB² + AC²

101 Calculer la longueur de lhypoténuse

102 Calculer RT (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près). R T 4 cm 5 cm S Dans le triangle RST rectangle en S, d'après le théorème de Pythagore : RT² =+ SR²ST² RT² =4² +5² RT² = RT =41cm valeur exacte RT valeur arrondie à 1 mm près 6,4 cm

103 Calculer la longueur dun côté de langle droit

104 Calculer JK (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près). Dans le triangle IJK rectangle en J, d'après le théorème de Pythagore : JK² =- JI²IK² JK² =6² -4² JK² = JK =20cm valeur exacte JK valeur arrondie à 1 mm près 4,5 cm J I 6 cm 4 cm K

105 P 66 Dans le triangle ABC rectangle en A : A B C Côté adjacent à l'angle Hypoténuse Côté opposé à l'angle ABC sin = côté opposé hypoténuse SOHSOH SOHSOHCAHCAHTOATOA

106 P 66 Dans le triangle ABC rectangle en A : A B C Côté adjacent à l'angle Hypoténuse Côté opposé à l'angle ABC cos = côté adjacent hypoténuse CAHCAH SOHSOHCAHCAHTOATOA 6.

107 P 66 Dans le triangle ABC rectangle en A : A B C Côté adjacent à l'angle Hypoténuse Côté opposé à l'angle ABC tan = côté opposé côté adjacent TOATOA SOHSOHCAHCAHTOATOA

108 SOHSOHCAHCAHTOATOA Pour tout angle aigu : ABC 0 < sin < 1 ABC 0 < tan ABC 0 < cos < 1 ABC

109 Calculer la longueur de lhypoténuse

110 Calculer BT (valeur exacte et valeur arrondie au dixième). On connaît le T B U 6 cm 66° côté opposé on cherchelhypoténuse donc on utilise :SOH

111 BT T 6 cm B U 66° Dans le triangle BUT rectangle en U : sin = BT= valeur exacte sin66° 6 1 UT BT UBT 6 BT 1 = BT = sin66° 6 sin66° cm mode degrés : DEG valeur arrondie au dixième 6,6 cm

112 Calculer la longueur dun côté de langle droit

113 Calculer DE (valeur exacte et valeur arrondie au dixième). On connaît le côté adjacent on cherchele côté opposé donc on utilise : E F D 42° 5 cm TAN

114 DE Dans le triangle DEF rectangle en E : tan = DE= valeur exacte tan 42° 5 tan 42° DE EF EFD DE 5 1 = DE = 1 5 tan 42° cm mode degrés : DEG valeur arrondie au dixième 4,5 cm E F D 42° 5 cm

115 Comment démontrer que deux angles ont la même mesure ? 1. Avec une bissectrice 2. Avec des angles opposés par le sommet 3. Avec des droites parallèles 4. Avec des triangles particuliers Alternes-internesCorrespondants IsocèleEquilatéral 5. Avec un parallélogramme 6. Avec un polygone régulier 7. Avec un cercle 8. Avec une transformation

116 1. Avec une bissectrice P 67 La bissectrice dun angle est la droite ou la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. x O y z

117 2. Avec des angles opposés par le sommet P 68 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux. O

118 3. Avec des droites parallèles P 69 Si deux droites parallèles et une sécante forment des angles alternes-internes alors ils sont égaux. d d'd' //

119 3. Avec des droites parallèles P 70 Si deux droites parallèles et une sécante forment des angles correspondants alors ils sont égaux. d d'd' //

120 4. Avec des triangles particuliers P 71 Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux. Base

121 4. Avec des triangles particuliers P 72 Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles sont égaux à 60°.

122 5. Avec un parallélogramme P 73 Si un quadrilatère est un parallélogramme (un rectangle, un losange ou un carré) alors ses angles opposés sont égaux.

123 6. Avec un polygone régulier P 74 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses angles au centre sont égaux à. 360° n 360° n

124 7. Avec un cercle P 75 Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils sont égaux. Arc de cercle

125 8. Avec une transformation P 76 Limage dun angle par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un angle de même mesure. O (symétrie centrale)

126 Comment calculer la mesure dun angle ? 1. Avec une bissectrice 2. Dans un triangle 3a. Avec des angles complémentaires 3b. Avec des angles supplémentaires 4. Dans un polygone régulier 5. Dans un cercle 6. Avec la trigonométrie :

127 1. Avec une bissectrice P 77 Si une droite ou une demi-droite est la bissectrice dun angle alors elle partage cet angle en deux angles égaux. x O y z xOz = yOz = xOy 2

128 2. Dans un triangle P 78 La somme des angles dun triangle est égale à 180°. ABC + ACB +BAC = A BC 180°

129 3. Avec des angles complémentaires P 79 Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 90°. 90° +

130 3. Avec des angles supplémentaires P 80 Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 180°. 180° +

131 4. Dans un polygone régulier P 81 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses angles au centre sont égaux à. 360° n 360° n

132 5. Dans un cercle P 82 Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors langle inscrit est égal à la moitié langle au centre. Arc de cercle O M A B

133 6. Avec la trigonométrie : SOHCAHTOA (rappel P 66 p. 46) On connaît le côté adjacent et lhypoténuse donc on utilise : CAH Exemple : Calculer ASC à 1° près. C ? 5 cm 9 cm A S

134 A S C ? 5 cm 9 cm Dans le triangle SAC rectangle en C : cos ASC = SC SA cos ASC = 5959 Cosinus de langle Nombre entre 0 et 1 56° ASC Angle aigu entre 0° et 90° à 1° près.

135 Comment construire limage dune figure par une transformation ? 1. Par une symétrie axiale 2. Par une symétrie centrale 3. Par une translation 4. Par une rotation 5. Par une composée de 2 symétries centrales 6. Par une composée de 2 translations

136 1. Par une symétrie axiale d P 83 Construire limage du drapeau vert par la symétrie daxe d.

137 1. Par une symétrie axiale d P 83 Avec les lignes horizontales et verticales : 4 carreaux vers la droite jusquà d puis 4 carreaux vers le bas.

138 2. Par une symétrie centrale

139 3. Par une translation

140 4. Par une rotation

141 5. Par une composée de 2 symétries centrales

142 6. Par une composée de 2 translations

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