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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE I MEDIATRICE Rappel 1° Définition La médiatrice dun segment est la droite perpendiculaire à ce segment.

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1 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE I MEDIATRICE Rappel 1° Définition La médiatrice dun segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. 2° Construction Géoplan

2 3° Propriété a)Tracer un segment [AB] et sa médiatrice d Placer sur d 4 points D, E, F, G. Mesurer AD et DB AE et EB AF et FB AG et GB Si un point appartient à la médiatrice dun segment Alors il est équidistant des extrémités du segment

3 b) Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm et placer les points E, F, G tels que AE = EB = 5 cm ; AF = FB = 4cm ; AG = GB = 3,5 cm Si un point est équidistant des extrémités dun segment Alors il appartient à la médiatrice du segment. Géoplan

4 4° Cercle circonscrit à un triangle. Tracer un triangle ABC quelconque et les médiatrices des trois côtés. Les médiatrices des côtés dun triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit. Géoplan

5 II TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE 1° Activité a) Tracer un triangle rectangle et son cercle circonscrit Faire une conjecture. Il semble que le centre du cercle circonscrit soit le milieu de lhypoténuse Géoplan Conjecture : Dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit est le milieu de lhypoténuse. b) propriété

6 2° Inversement ACB ADB AEB AFB AGB AHB AKB ALB AMB ATB Il semble que les points situés sur le cercle forment un angle droit avec les points du diamètre a) activité

7 b) Démonstration. A B C O Soit C un point du cercle de diamètre [AB] et de centre O. On construit le point D symétrique de C par rapport à O D On a : O milieu de [CD] ( symétrie centrale ) O milieu de [AB] ( énoncé) Donc ACBD est un parallélogramme. On a : AB = CD car ce sont deux diamètres dun même cercle. Donc Le parallélogramme ACBD à les diagonales de même longueur. Cest un rectangle. Conclusion : ACB = 90°

8 c) Propriétés. a)Si C est un point du cercle de diamètre [ AB] alors le triangle ABC est rectangle en C. b) Dans un triangle si le milieu dun côté est équidistant des trois sommets alors ce triangle est rectangle.

9 III THEOREME DE PYTHAGORE 1° Activité Construire les triangles ABC rectangles en A tels que : 1) AB = 4 cm et AC = 3cm 2) AB = 4,8 cm et AC = 6,4 cm 3) AB = 8,1 cm et AC = 10,8 cm 1)2) 3) BC =BC = BC = 5 cm 8 cm 13,5 cm

10 Triangle 1 AB = 4 cmAB 2 =AB 2 + AC 2 = AC = 3 cmAC 2 = BC =BC 2 = Triangle 2 Triangle3 AB = 4,8 cmAB 2 =AB 2 + AC 2 = AC = 6,4 cmAC 2 = BC =BC 2 = AB = 8,1 cmAB 2 =AB 2 + AC 2 = AC = 10,8 cmAC 2 = BC =BC 2 = 5 cm 8 cm 13,5 cm ,04 40, ,61 116,64 182, ,25

11 2) Théorème de Pythagore A B C Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB² + AC² = BC² Dans un triangle rectangle le carré de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de langle droit

12 3° Utilisation du théorème. a) Calcul de lhypoténuse. Soit EDF un triangle rectangle en D tel que DF = 6,3 cm et DE = 8,4 cm. Calculer EF Dans le triangle EDF rectangle en D, daprès le théorème de Pythagore on a : DF² + DE² = EF² 6,3² + 8,4² = EF² Donc EF² = 110,25 EF = On utilise la touche de la calculatrice EF = 10,5 cm

13 b) Calcul de lun des côtés de langle droit. Soit MER un triangle rectangle en M tel que ME = 4,8 cm et ER = 7,3 cm. Calculer MR. Dans le triangle MER rectangle en M, daprès le théorème de Pythagore on a : ME² + MR² = ER² 4,8² + MR² = 7,3² Donc MR² = 30,25 MR = On utilise la touche de la calculatrice MR = 5,5 cm MR² =7,3² - 4,8² DANGER

14 IV RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE 1° Activité. Tracer les quatre triangles suivants : 1° T1 est un triangle RST tel que RS = 7,2 cm ST = 5,4 cm et TR = 9 cm. 2° T2 est un triangle RST tel que RS = 8 cm ST = 6 cm et TR = 9 cm. 3° T3 est un triangle RST tel que RS = 3,6 cm ST = 7,7 cm et TR = 8,5 cm. 4° T4 est un triangle RST tel que RS = 6 cm ST = 5 cm et TR = 7 cm. Quels triangles semblent rectangles ? RSSTTRRS 2 ST 2 RS 2 + ST 2 TR 2 T1T1 7,25,49 T2T2 869 T3T3 3,67,78,5 T4T4 657 Compléter le tableau 51, , , , ,25 61 Les triangles T1 et T3 semblent rectangles

15 2° Énoncé de la réciproque. Dans un triangle ABC, si on a AB² + AC² =BC² Alors le triangle ABC est rectangle en A

16 3° Exemples dutilisation a)Soit BUT un triangle tel que :BU = 8 cm BT = 3,9 cm et UT = 8,9 cm. Le triangle BUT est-il rectangle ? Le plus grand côté est [UT] On calcule SEPAREMENT UT² et BU² +BT² UT² = 8,9² = 79,21 BU² + BT² = 8² + 3,9² = 79,21 On a BU² + BT² = UT² Donc, daprès la réciproque du théorème de Pythagore, Le triangle BUT est rectangle en B puis on compare

17 b) Soit CAR un triangle tel que CA = 7,2 cm AR = 6,5 cm et CR = 9,6 cm Le triangle CAR est-il rectangle? Le plus grand côté est [CR] On calcule SEPAREMENT CR² et CA² + AR², puis on compare les résultats CR² = 9,6² = 92,16 CA² + AR² = 7,2² + 6,5 ² = 94,09 On a CA² + AR² CR² La relation du théorème de Pythagore nest pas vérifiée, Donc le triangle CAR nest pas rectangle


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