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Chapitre 2 Triangles. I. Construction de triangles 1. Construction de triangles connaissant les longueurs des 3 côtés Construction n°1 : ABC est un triangle.

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1 Chapitre 2 Triangles

2 I. Construction de triangles 1. Construction de triangles connaissant les longueurs des 3 côtés Construction n°1 : ABC est un triangle tel que : AB = 2 cm ; AC = 3 cm ; BC = 4 cm.

3 Peut-on tracer tous les triangles ? Quelles conditions doivent avoir les mesures dun triangle ? Activité

4 2. Inégalité triangulaire Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple : Dans le triangle ABC, on a : AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA + AC.

5 Conséquence : a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces longueurs. Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c. Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b et c. Exemple : Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5 cm et DF = 3 cm ? On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs des deux autres côtés : ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3 On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc on ne peut pas construire un tel triangle.

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9 Cas particulier : Un triangle isocèle est un triangle qui à deux angles à la base égaux. Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses 3 angles de même mesure, cest-à-dire 180 : 3 = 60°. Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, cest-à-dire de 90°.

10 II. Droites remarquables dans un triangle 1. Médiatrice Définition : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. ( d ) passe par O milieu de [MN]. ( d ) est perpendiculaire à [MN].

11 Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM = PN. Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. PM = PN donc P appartient à la médiatrice de [MN] Remarque : Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.

12 Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

13 2. Hauteurs Définition: Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

14 Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

15 3. Médianes Définition: Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

16 Propriété : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.

17 4. Bissectrices Définition: On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux angles égaux.

18 Propriété : Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.


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