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TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE 6° Avon 2010Bernard Izard Chapitre 05-FI I – LES 2 PROPRIETES II – THEOREME DE LA MEDIANE III- DISTANCE IV – TANGENTE.

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1 TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE 6° Avon 2010Bernard Izard Chapitre 05-FI I – LES 2 PROPRIETES II – THEOREME DE LA MEDIANE III- DISTANCE IV – TANGENTE

2 I-LES 2 PROPRIETES

3 Propriété 1 Si un triangle est inscrit dans un cercle avec lun de ses côtés comme diamètre, alors ce triangle est rectangle. Un des côtés est un diamètre du cercle B A C O Et ce côté est lhypoténuse

4 B A C O Démo // A,B,C sur le cercle [BC] diamètre O centre du cercle Hypothèses Soit A le symétrique de A par rapport à O. A est sur le cercle car OA=OA= Diamètre A O est donc le milieu de [AA] De plus O milieu du diamètre [BC] Le quadrilatère ABAC est un Rectangle car ses 2 diagonales [AA] et [BC] ont la même longueur et le même milieu O AA = BC = Diamètre BÂC est donc un angle droit et ABC triangle rectangle //

5 Propriété 2 (La réciproque) Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de lhypoténuse. Nous admettons cette réciproque Si un triangle est rectangle alors il sinscrit dans un cercle ayant lhypoténuse comme diamètre Variante

6 II-THEOREME de la MEDIANE Rappel: La médiane est la droite issue dun sommet qui coupe le sommet opposé en son milieu Propriété 1 La médiane issue du sommet de langle droit mesure la moitié de lhypoténuse Attention: suivant le cas on désigne par médiane la droite, le segment médiane ou la longueur de ce segment

7 // Conséquence : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de lhypoténuse est équidistant des trois sommets. Démo. ABC triangle rectangle en A M milieu de [BC] [AM] Médiane Hypothèses Soit C le cercle circonscrit. Son centre est O et son diamètre est [BC]. Voir propriété 2 MA = longueur du rayon = BC/2 B A B M

8 Propriété 2 (réciproque) Si dans un triangle la médiane issue dun sommet mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle et ce côté est lhypoténuse

9 III-DISTANCE La distance dun point à un objet est le plus court chemin A H Distance de A à lobjet = AH Cherchons la distance dun point à une droite Quel est ce plus court chemin ?

10 (d) A Le point H (appelé parfois pied de la perpendiculaire) est le point de la droite (d ) qui est le plus près de A. H B C Soit A le symétrique de A par rapport à la droite (d) A Daprès linégalité triangulaire AA < AB + BA Divisons tout par 2 AA < AB + BA 2 AH < 2 x AB AH < AB 2 Toute perpendiculaire est plus courte que toute oblique La distance AH est la distance du point A à la droite (d)

11 IV-TANGENTE A UN CERCLE La Tangente est une droite qui « touche » le cercle en un point et un seul. (C ) M x O A OM < OA car A est à lextérieur du cercle [OM] est donc le plus court chemin. Mais nous savons que ce plus court chemin est la perpendiculaire donc.. Le rayon qui aboutit au point de tangence est perpendiculaire à cette tangente Ce qui donne une nouvelle définition de la tangente

12 Ex: Construire une tangente au cercle passant par A. La tangente à un cercle est la droite perpendiculaire en un point du cercle à un rayon A B O 1-Construire le cercle de diamètre [OA] 2- Il coupe le 1° cercle en B et C 3-Tracer la tangente (AB) C Cest bien la tangente car elle est perpendiculaire en B au rayon du cercle. ABO triangle inscrit dans un cercle dont un de ses côtés (AO] est le diamètre Remarque: Il y 2 possibilités car on peut tracer (AC)

13 Revoir les exercices Apprendre le cours FIN TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE


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