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La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC représentation à la cathédrale de Chartres Vu par Raphael.

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1 La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC représentation à la cathédrale de Chartres Vu par Raphael

2 La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore vocabulaire démonstration exemplesexemples : réciproque ex 1ex 2 ex 3 exemples r exemples r : ex 1rex 2r ex 3r

3 La Géométrie Autrement A C B Vocabulaire Dans un triangle rectangle, lhypoténuse est le côté opposé à langle droit. [BC] est l du triangle ABC hypoténuse

4 La Géométrie Autrement On a quatre triangles rectangles identiques a b c a b c a b c a b c Démonstration

5 La Géométrie Autrement On dispose les quatre triangles rectangles dans un carré a b c a b c a b c a b c

6 La Géométrie Autrement On obtient un nouveau carré JOLI a b c a b c a b c a b c J O L I

7 La Géométrie Autrement a b c a b c a b c a b c J O L I L aire de JOLI est : c²

8 La Géométrie Autrement dans le même carré d une autre façon. On dispose ensuite les quatre triangles rectangles a b a b

9 La Géométrie Autrement a b a b On obtient deux nouveaux carrés : JADE J A D OCRE E O C R

10 La Géométrie Autrement a b a b J A D E O C R L aire de OCRE est : a²

11 La Géométrie Autrement a b a b J A D E O C R L aire de JADE est : b²

12 La Géométrie Autrement c J O L I a b a b J A D E O C R L aire de JOLI est égale à la somme des aires de OCRE et de JADE c² a² b² + a b c a b c a b c a b c a b a b

13 La Géométrie Autrement c 2 = a 2 + b 2 Cette égalité est connue depuis l antiquité sous le nom de : théorème de Pythagore a b c On peut donc écrire pour le triangle

14 La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. hypoténuse

15 La Géométrie Autrement Le théorème de Pythagore un autre énoncé A C B Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC² ! Le théorème de Pythagore ne sapplique quaux triangles rectangles.

16 La Géométrie Autrement ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC B A C 3 4 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

17 La Géométrie Autrement On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres) BC² = (on calcule) BC² = 4² + 3² (on remplace les lettres par les longueurs connues) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC B A C 3 4 1) On fait un dessin 2) BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est lhypoténuse, cest donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

18 La Géométrie Autrement 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2) DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF E D F 5 6

19 La Géométrie Autrement DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF E D F 5 6 1) On fait un dessin 2) On applique le théorème de Pythagore : On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres) EF² = (on calcule) EF² = 5² + 6² (on remplace les lettres par les longueurs connues) EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est lhypoténuse, cest donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) ~ ~ EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui sécrit 61 7,8) ~ ~

20 La Géométrie Autrement On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC² Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm. Calculer AC A B C 8 6 AC² = AC² = 8² + 6² AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm

21 La Géométrie Autrement 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2) GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH G I H 2 3

22 La Géométrie Autrement On applique le théorème de Pythagore : On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres) 1) On fait un dessin 2) 9 = 4 + IH² (on transforme légalité pour isoler IH²) 3² = 2² + IH² (on remplace les lettres par les longueurs connues) IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est lun des côtés de langle droit, il est donc plus petit que lhypoténuse, le résultat est vraisemblable) ~ ~ IH² = (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 ) GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH G I H 2 3 IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui sécrit 5 2,2) ~ ~

23 La Géométrie Autrement On applique le théorème de Pythagore : On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU² 36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU² TU 3,3 cm ~ ~ TU² = EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU S T U 5 6 TU² = 11 TU = 11

24 La Géométrie Autrement à suivre …

25 La Géométrie Autrement La réciproque du théorème de Pythagore Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et langle droit est langle opposé au plus grand côté.

26 La Géométrie Autrement La réciproque du théorème de Pythagore un autre énoncé Si, dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A. ! à la présentation des calculs

27 La Géométrie Autrement Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: cest [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB] 3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés 4) On constate légalité : 5) On cite la propriété appliquée pour conclure : AB² = 75² = BC² + AC² = 45² + 60² = = AB² = BC² + AC² daprès la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

28 La Géométrie Autrement Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: cest [EF] 2) On calcule le carré de la longueur de [EF] 3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés 4) On constate quil ny a pas égalité : 5) On peut affirmer que : EF² = 15² = 225 DE² + DF² = 11² + 9² = = 202 EF² = DE² + DF² le triangle ABC nest pas un triangle rectangle.

29 La Géométrie Autrement 2) On repère le côté le plus long: cest [EL] 3) On calcule le carré de la longueur de [EL] 4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés 5) On constate légalité : EL² = 8,5² = 72,25 SE² + SL² = 4² + 7,5² = ,25 = 72,25 EL² = SE² + SL² 4cm 8,5cm 7,5cm S O L E A-t-on (SE) (SL) ? 1) On précise le triangle dans lequel on travaille : Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5. 6) On cite la propriété appliquée pour conclure : daprès la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL).

30 La Géométrie Autrement fin


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