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ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE ET ANGLE AU CENTRE Définitions Découverte Propriété 1 Découverte Propriété 2 Démonstration.

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1 ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE ET ANGLE AU CENTRE Définitions Découverte Propriété 1 Découverte Propriété 2 Démonstration Propriété 1 Démonstration Propriété 2 Cas n°1Cas n°2Cas n°3

2 Définitions Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. B M Angle inscrit A

3 Définitions Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre dun cercle. B O Angle au centre A

4 1.A la découverte des deux propriétés a)Tracer un cercle C de centre O. Placer trois points A, B, M et N sur C. b)Tracer langle inscrit AMB et langle au centre AOB. Mesurer AMB et AOB. Quelle remarque peut-on faire ?

5 A B M O Angle inscrit Angle au centre Arc de cercle intercepté par les deux angles

6 Propriété 1 (Propriété de langle inscrit) Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de langle inscrit est égale à la moitié de langle au centre. A B M O AMB = 2 AOB

7 d)Tracer langle inscrit. e)Que peut-on dire des angles AMB et ANB? A B M O N Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors Propriété 2 ils ont la même mesure. AMBANB =

8 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 1 Cas n°1 : [MB] est un diamètre de C. a) Démontrer que OMA est isocèle. b) Démontrer que AOM = 180 – 2 OMA c) En déduire que : AOB = 2AMB A B M O

9 A B M O a) Démontrer que OMA est isocèle. [OA] et [OM] sont deux rayons du cercle C donc OA = OB. OA = OM donc OMA est isocèle en O.

10 A B M O b) Démontrer que : AOM = 180 – 2 OMA. OMA est isocèle en O donc les angles à la base OMA et OAB sont égaux. Donc AOM = 180° - 2 OMA Or AOM = 180° - (OMA + OAB)

11 c) En déduire que : AOB = 2 AMB. A B M O Or AOM = 180° - 2 OMA Donc AOB = 180° - (180° - 2OMA) OAB et AOM sont supplémentaires donc AOB = 180° - AOM. AOB = 180° - 180° + 2OMA Donc AOB = 2 AMB.

12 2. Démonstration des deux propriétés Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB B A M O C

13 Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB [MC] est un diamètre de C donc daprès la question a) : COB = 2 CMB B A M O C AOC = 2 AMC = 2 AMB et Or AOB = AOC + COB Or AOB = 2AMC + 2CMB

14 2. Démonstration des deux propriétés Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB A B M O C

15 Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB [MC] est un diamètre de C donc daprès la question a) : BOC = 2 BMC AOC = 2 AMC = 2 AMB et Or AOB = BOC - AOC Or OAB = 2BMC – 2AMC A B M O C

16 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. AMB et AOB interceptent le même arc de cercle donc AMB = AOB :2 A B M O N

17 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. ANB et AOB interceptent le même arc de cercle donc ANB = AOB :2 A B M O N

18 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. et ANB = AOB :2 AMB = AOB :2 A B M O N donc AMB = ANB

19 Fin


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