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1 Statistique et probabilité Série n° 1 Mr : OUIA AZIZ 2008/2009.

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1 1 Statistique et probabilité Série n° 1 Mr : OUIA AZIZ 2008/2009

2 2 Exercice 1 : Calculer : C 2 5 C 3 5 C 4 5 En déduire : C 4 6 En déduire : (a + b) 5 = 5!/(2!*3!)=10 C 2 5 = 5!/(2!*3!)=10 = 5!/(3!*2!)=10 C 3 5 = 5!/(3!*2!)=10 = 5 C 4 5 = 5 = + = 10+5 = 15 C 4 6 = C C 4 5 = 10+5 = 15 (a+b) 5 =C 5 5 a 5 +C 4 5 a 4 b+C 3 5 a 3 b²+C² 5 a²b 3 +C 1 5 ab 4 +C 0 5 b 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b²+10a²b 3 +5ab 4 +b 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b²+10a²b 3 +5ab 4 +b 5

3 3 Exercice 2 : Soit une classe de 20 étudiants. Combien déquipes de 4 étudiants peut-on former à partir de cette classe. A 4 20 =20*19*17*16=116280

4 4 Exercice 3 : On dispose dune urne qui contient 10 boules dont 6 sont rouges et 4 sont blanches. 1. Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ? 2. Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules blanches ? 3. Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule blanches ?

5 5 1. C 4 10 = C 4 4 = 1 3. C 1 4 *C C² 4 *C² 6 + C 3 4 C 1 6 +C 4 4 =19 Il y a C 4 6 =15 échantillons qui contiennent des boules rouges donc, le nombre déchantillons est égal à C C 4 6 =210-15=195

6 6 Exercice : On dispose dune urne qui contient 10 boules dont 6 sont blanches et 4 sont rouges. 1. Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ? 2. Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules rouges ? 3. Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule blanches ?

7 7 1. C 4 10 = C 4 4 = 1 3. C 1 6 *C C² 6 *C² 4 + C 3 6 C 1 4 +C 4 6 =209. Il y a C 4 4 =1 échantillon qui contient des boules rouges donc, le nombre déchantillons est égal à C C 4 4 =210-1=209

8 8 Exercice 4 : combien de signaux différents peut-on former, chaque signal étant constitué de 10 fanions alignés verticalement, dont 5 sont rouges, 3 sont jaunes et deux sont vertes ?

9 9 Exercice 5 : dans une étude dévaluation dacquis par les étudiants, il est requis par létudiant de répondre à un examen de 8 questions. Les étudiants doivent répondre par « Vrai » ou « Faux ». Toutes les réponses dun étudiant quelconque sont considérées comme une possibilité. Combien de possibilités différentes sont possibles ?

10 10 Exercice 6 : dans une banque, on veut former une équipe de 2 cadres supérieurs et 4 cadres moyens pour soccuper dune nouvelle agence bancaire. Léquipe sera constituée à partir dun effectif de banquiers de 10 cadres supérieur et 14 cadres moyens. De combien de façons différentes peut-on constituer cette équipe ?

11 11 Exercice 7 : Dans une boite il y a 12 pièces qui sont bonnes et 8 qui sont défectueuses. De combien de manières peut-on former un échantillon comprenant 4 pièces bonnes et 3 pièces défectueuses ? C 4 12 *C 3 8 =27720

12 12 Exercice 8 : 9 élèves sont nouvellement inscrits dans un collège. Comment peut-on les répartir dans les cas suivants : Sils doivent être placés chacun dans une classe différente? Sils sont classés 3 à 3 dans 3 classes différentes? Sil y a 4 classes, deux recevant 3 élèves, 1 recevant 2 élèves et une classe recevant 1 seul élève? 1) 9!= ) 9!/(3!*3!*3!) =1680 3) 9!/(3!*3!*2!*1!)=5040

13 13 Exercice 9 : Dans une entreprise, une machine non réglée produit 14 pièces par jour dont 8 sont bonnes et 6 sont défectueuses. A partir dune production journalière de cette machine, on choisit au hasard des échantillons de 4 pièces. Combien déchantillons différents peut- on former ? Combien déchantillons constitués de 3 pièces bonnes et 3 pièces bonnes seulement peut-on former ?

14 14 1) C 4 14 =1001 2) Les échantillons doivent être constitués de 3 pièces bonnes et 1 pièce défectueuse. C 3 8 *C 1 6 =56*6=336

15 15 Exercice 10 : On dispose de 6 photocopies dun même baccalauréats et 8 chemises dune même couleur où elles peuvent être placées. Calculer : Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises. Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises sans quil y en ait 2 dans la même chemise.

16 16 1)On peut remplacer les chemises par des papiers cartonnées simples. Il y aura 7 papiers cartonnés simples. Les deux derniers papiers cartonnés ne sont pas comptés. Le nombre de permutations possible des 6 et des 7 papiers cartonnés est une permutation avec répétition 13!/(6!*7!)=1716 2) La première photo à 8 places possibles et la deuxième on a 7 possibilités et les photocopies sont les mêmes donc il n y aura pas dordre ( lordre est indifférent). on va avoir A 6 8 /6!=C 6 8 =28 on va avoir A 6 8 /6!=C 6 8 =28

17 17 Exercice 11 : Dans une course de voiture, 20 marques de voitures se disputent les 3 premières places. Combien y a-t- il de possibilités : Au total ? Dans lesquelles les 3 voitures soient dans lordre ? Dans lesquelles, elles sont soit dans lordre soit dans le désordre ? Dans lesquelles, elles sont dans le désordre ?

18 18 1) Il y a lordre car une voiture gagnante ne peut pas être en même temps dans les 3 classements. A 3 20 =20*19*18=6840 2) On va avoir lordre et donc un seul classement =1 3) On va avoir lordre et le désordre donc : 3!=3*2*1=6 On va avoir uniquement le désordre donc : 6-1=5

19 19 Exercice 12 : Soient les chiffres suivants : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Combien peut-on former de nombres de deux chiffres. A 2 9 = 9*8=72

20 20 Exercice 13 : Sur 26 personnes interrogées, 12 personnes ont une petite voiture, 10 personnes ont une grande voiture et 4 personnes ont les deux tailles de voitures. De combien de façons peu-on choisir 6 personnes parmi les 26 si : Chacune des 6 personnes a au moins une voiture ? 4 dentre elles ont une petite voiture et les deux autres ont une grande voiture. Chacune dentre elle na quune seule voiture ? 4 dentre elles ont au moins une petite voiture ?

21 21 1- (4 personnes ont deux voitures) donc, il reste ( )=18 personnes qui ont au moins une voiture donc : C 6 18 =18!/6!*12!= Les 4 premières personnes sont prises à partir de 8 personnes qui nont quune petite voiture. Le reste (2 personnes) sont prises à partir des 6 personnes qui nont quune grande voiture. Donc on aura C 4 8 *C² 6 =70*15 =1050

22 22 3- On peut avoir : 4 personnes qui ont une petite voiture ou 5 personnes qui ont une petite voiture ou 6 personnes qui ont une petite voiture donc on aura : C 4 12 *C² 14 +C 5 12 *C C 6 12 =991485

23 23 Exercice 14 : Dans une entreprise travaille 30 personnes dont 20 hommes et 10 femmes. Le directeur technique veut former des équipes de 6 personnes avec au moins deux hommes et deux femmes. Déterminer le nombre de groupes que lon peut choisir dans les cas suivants : Chaque personne peut être membre de cette équipe. 4 hommes et deux femmes nacceptent pas dêtre membre de cette équipe.

24 24 1- Nous pouvons avoir les scénarios suivants : {(2H et 4F) ; (3H et 3F) ; (4H et 2 F)} C² 20 *C C 3 20 *C C 4 20 C² 10 = = = = = Il ne reste que (20-4)=16 hommes et (10-2)= 8 femmes C² 16 *C 4 8 +C 3 16 *C 3 8 +C 4 16 C² 8 = = = =90720.

25 25 Exercice 15 : Soient A et B deux événements associés à une certaine expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(A B)=0,7 et P(B)=p. 1. Déterminer p si A et B sont incompatibles. 2. Déterminer p si A et B sont indépendants. 3. Déterminer p si A et B ne sont pas incompatible, ni indépendants. De plus p(A B)=0,2.


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