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Mathématiques CST Les PROBABILITÉS conditionnelles.

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1 Mathématiques CST Les PROBABILITÉS conditionnelles

2 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Définitions de base Définitions de base Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat dépend du hasard (ne peut être prédit avec certitude). Univers des possibles : Ensemble formé de tous les résultats possibles dune expérience. Symbole : (« oméga ») Ex. #1 : On lance un dé. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ex. #2 : On lance un dé suivi dune pièce de monnaie. = { (1, P), (1, F), (2, P), (2, F), …, (6, P), (6, F) } = { (1, P), (1, F), (2, P), (2, F), …, (6, P), (6, F) }

3 TYPES de probabilités Probabilité THÉORIQUE : Établie à la suite dun raisonnement, sans avoir besoin den faire lexpérience. Probabilité THÉORIQUE = Nombre de résultats favorables Nombre de résultats possibles Ex. : On lance un dé. Quelle est la probabilité dobtenir 4 ? P T (4) = 1 6

4 TYPES de probabilités Probabilité FRÉQUENTIELLE : (ou EXPÉRIMENTALE) Obtenue suite à la répétition dune expérience. Probabilité FRÉQUENTIELLE = Nombre de fois quun résultat sest produit Nombre dexpériences réalisées Ex. : P F (1) = 2 6 On lance un dé à 6 reprises. On obtient le nombre « 1 » à 2 reprises. Quelle est la probabilité fréquentielle dobtenir 1 suite à cette expérience ? Lorsque lexpérience est effectuée un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité théorique. Loi des grands nombres Ex. : On lance une pièce de monnaie. Après 5 expériences : 3 piles et 2 faces P F (pile) = 3 / 5 = 0,6 Après 20 expériences : 9 piles et 11 faces P F (pile) = 9 / 20 = 0,45 Après 100 expériences : 52 piles et 48 faces P F (pile) = 52 / 100 = 0,52

5 TYPES de probabilités Probabilité SUBJECTIVE : Reflète lavis dune personne sur la probabilité quun événement se produise. Ex. : Les probabilités que les Canadiens de Montréal gagnent la coupe Stanley sont bonnes cette année ! Elle fait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions. Il est impossible de calculer une probabilité subjective ou den faire lexpérience.

6 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Résultats simples Résultats simples La probabilité dun résultat « r » est : P(r) = 0 Événement impossible P(r) = p avec p [ 0, 1 ] P(r) = 1 Événement certain Si : P(r) = Nombre de chances dobtenir le résultat souhaité Nombre de résultats possibles de Nombre de résultats possibles de

7 Ex. #1 : On lance un dé. Quelle est la probabilité dobtenir un 6 ? P(6) = 1 6 0,17 0,17 Ex. #2 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 1 carte. Quelle est la probabilité dobtenir un cœur ou une dame de pique ? dobtenir un cœur ou une dame de pique ? P( ou D ) = = ,27 0,27 Ex. #3 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 2 cartes. Quelle est la probabilité dobtenir un cœur et une dame de pique (avec remise) ? dobtenir un cœur et une dame de pique (avec remise) ? P( et D ) = x 1 52 = ,0048 0,0048

8 Chances POUR et chances CONTRES Chances POUR = Nombre de chances de succès Nombre de chances déchec Chances CONTRE = Nombre de chances déchec Nombre de chances de succès Ex. #1 : Denis et Paul essaient de deviner le poids des gens (à 5 lbs près). Denis a deviné juste 12 fois et sest trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5 Denis a deviné juste 12 fois et sest trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5 fois et sest trompé 15 fois. fois et sest trompé 15 fois. Chances POUR = 12 8 Quelles sont les « chances pour » que Denis devine juste pour la prochaine personne ? Chances CONTRE = 15 5 Quelles sont les « chances contre » que Paul se trompe pour la prochaine personne ?

9 Ex. #2 : Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1. Quelle somme recevra-t-il si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ? si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ? Chances CONTRE 8 1 = x 20 $ x = 160 $ = p g Note : Aux courses, la cote indique les « chances contres » Ex. #3 : Une équipe est favorite à 12 contre 7 pour lemporter. Paul gage 10 $ que léquipe va perdre. Combien recevra-t-il si léquipe perd ? que léquipe va perdre. Combien recevra-t-il si léquipe perd ? Chances POUR 12 7 = x 10 $ x = 17,14 $ = g p On recevra 180 $, car on nous remet notre mise. Réponse : Paul recevra 27,14$, car on lui remet sa mise. Réponse :

10 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Résultats composés Résultats composés Se produit lors dune expérience à plusieurs étapes (2 lancers de dé, tirer 3 cartes, etc.). Mot clé : La probabilité dun résultat composé est égale au produit des probabilités de chacune de ses composantes. ET Attention aux tirages AVEC remise et SANS remise !

11 Ex. : Dans un sac qui contient 5 boules ROUGES, 3 boules BLEUES et 2 boules VERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la VERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la probabilité de piger 2 boules BLEUES ? probabilité de piger 2 boules BLEUES ? Départ ROUGE 5 / 10 BLEUE 3 / 10 VERTE 2 / 10 ROUGE 4 / 9 BLEUE 3 / 9 VERTE 2 / 9 ROUGE 5 / 9 BLEUE 2 / 9 VERTE ROUGE 5 / 9 BLEUE 3 / 9 VERTE 1 / 9 P( R, R ) = 5 10 x = 0,22 0, P( R, B ) = 5 10 x = 0,17 0, P( R, V ) = 5 10 x = 0,11 0, P( B, R ) = 3 10 x = 0,17 0, P( B, B ) = 3 10 x = 0,067 0, P( B, V ) = 3 10 x = 0,067 0, P( V, R ) = 2 10 x = 0,11 0, P( V, B ) = 2 10 x = 0,067 0, P( V, V ) = 2 10 x = 0,022 0, er TIRAGE 2 e TIRAGE

12 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Diagramme de Venn Diagramme de Venn Sert à visualiser les relations entre les événements. Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en ChimieIl y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.

13 Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en ChimieIl y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie. (200) (200) A B C On commence par la partie commune aux trois ensembles 20

14 Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en ChimieIl y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie. (200) (200) A B C Ensuite, les parties communes à deux ensembles… 20 10

15 Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en ChimieIl y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie. (200) (200) A B C Ensuite, les parties communes à deux ensembles…

16 Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en ChimieIl y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie. (200) (200) A B C Ensuite, les parties communes à deux ensembles…

17 Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent sinscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants : = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie. (200) (200) A B C Finalement, les ensemble seuls…

18 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Événements Événements DÉFINITION : Sous-ensemble de lunivers des possibles ( ) dune expérience aléatoire. Ex. : On lance un dé. Événement A = Obtenir un nombre pair Événement B = Obtenir un nombre premier Événement C = Obtenir un nombre plus petit ou égal à 5.

19 Événements COMPLÉMENTAIRES Lors dun événement A, ce sont tous les éléments qui ne sont pas dans lévénements A. Ex. : On choisit un numéro parmi les nombres 1 à 20. Événement A = Obtenir un multiple de 4. A = {4, 8, 12, 16, 20} A = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19} P(A) = 5 20 = 1 4 0,25 0,25 P(A) = = 3 4 0,75 0,75 P(A) = 1 – P(A) On peut donc calculer la probabilité dun événement complémentaire avec la relation suivante :

20 Événements DISJOINTS (ou incompatibles) Lorsque deux événements A et B ne peuvent avoir des éléments en commun. Ex. : On interroge 100 personnes sur leur lieu de naissance. = Le lieu de naissance de personnes nées dans un hôpital. = Le lieu de naissance de personnes nées dans un hôpital. A = Les personnes nées en Suisse. B = Les personnes nées en France. Des 100 personnes, 10 dit être nées en Suisse, 50 en France et 40 dans un autre pays. (100) (100) A B Quelle est la probabilité quune personne soit née en Suisse ou en France ? P(A U B) = =

21 Événements DISJOINTS (ou incompatibles) Pour le calcul des probabilités, on obtient donc : P(A U B) = P(A) + P(B)

22 Événements COMPATIBLES Lorsque deux événements A et B peuvent avoir des éléments en commun. Ex. : On interroge 100 personnes sur les pays quils ont visités en Europe durant leur voyage. = Les personnes qui ont voyagé en Europe. = Les personnes qui ont voyagé en Europe. A = Les personnes qui ont visité la Suisse. B = Les personnes qui ont visité la France. Des 100 personnes, 40 ont visité uniquement la Suisse, 30 ont visité uniquement la France, 10 ont visité les deux pays et 20 ont visité dautres pays. (100) (100) A B Quelle est la probabilité quune personne ait visité la Suisse ou la France ? P(A U B) = = –

23 Événements COMPATIBLES Pour le calcul des probabilités, on obtient donc : P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)

24 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Espérance mathématique Espérance mathématique DÉFINITION : Cest le gain (ou la perte) moyen quon espère obtenir si on répète une expérience un grand nombre de fois. Méthode de calcul : On multiplie chacun des gains ou des pertes possibles par leur probabilité On fait la somme de tous les produits

25 Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante : a)Quelle est lespérance mathématique de cette situation ? 10 $ 20 $ 5 $ 2 $ 1 4 (10 $) (20 $) (5 $) + E M = 1 6 (2 $) E M = , ,83+ 0,33+ 0,33 9 Conclusion : En moyenne, on devrait recevoir 9 $ à chaque tour.

26 Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante : b) Maintenant, on paie 7 $ pour jouer à ce jeu. Êtes-vous intéressé à jouer ? 10 $ 20 $ 5 $ 2 $ E M = 9 Conclusion : On ne risque toujours rien de jouer à ce jeu, on devrait même recevoir 2 $ à chaque tour. – 7 E M = 2 Lorsque le joueur paie pour jouer et quon ne spécifie pas quon lui remet sa mise sil gagne, alors on doit soustraire cette mise de son gain. Si on lui remet sa mise sil gagne, alors le gain reste entier ; cest comme sil navait pas payé pour jouer. ATTENTION :

27 Ex. #2 : La probabilité de gagner 10 $ est de 0,05, la probabilité de gagner 5 $ est de 0,2 et la probabilité de perdre 5 $ est de 0,75. Quelle est lespérance de gain de ce jeu ? E M = 0,05 (10 $) + E M = - 2,25 Conclusion : En moyenne, on devrait perdre 2,25 $ à chaque fois quon joue à ce jeu. Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu ! 0,2 (5 $) + 0,75 (- 5 $)

28 Jeu ÉQUITABLE Un jeu est équitable si les deux joueurs ont la même chance de gagner. Donc, lespérance mathématique doit être nulle. Ex. #1 : Retournons à notre exemple de la roue : Combien faudrait-il payer pour que ce jeu soit équitable ? 10 $ 20 $ 5 $ 2 $ E M = 9 Conclusion : En moyenne, on devrait payer 9 $ à chaque fois quon tourne la roue. E M = 9 – 9 E M = 0

29 8 Ex. #2 : Dans un bocal, il y a 8 boules identiques dont 7 rouges et 1 verte. On tire au hasard 1 boule. La seule façon de gagner est de tirer la boule verte. Il en coûte 2 $ pour jouer à ce jeu. Quel doit être le montant à gagner si on veut que le jeu soit équitable ? (on ne nous remet pas notre mise) Soit G, le montant du prix à gagner. 1 8 (G – 2 $) (- 2 $) E M = G 8 –– = 1 8 (G – 2 $) (- 2 $) 0 = 2 8 G – 16 0 = 0 = G – = G Conclusion : On doit gagner 16 $ pour que ce jeu soit équitable.

30 Ex. #3 : Lors des 600 dernières parties de babyfoot, Martin a gagné à 200 reprises. François propose à Martin un petit pari. Il dit : « Si tu me bats 3 fois de suite, je te donne 20 $, sinon, tu me donnes 1 $. ». Martin doit-il accepter ce pari ? Calculons la probabilité fréquentielle de gagner de Martin : P F = = 1 3 Ses chances de gagner sil joue trois fois de suite : P F = 1 3 x 1 3 x 1 3 = 1 27 Calculons lespérance mathématique : 1 27 (20 $) (- 1 $) E M = – E M = E M = - 0,22 Conclusion : Martin doit refuser le pari.

31 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles DÉFINITION : Cest la probabilité quun événement se réalise étant donné quun autre événement sest déjà réalisé. Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN

32 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN = Les activités de fin de semaine. = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard. (100) (100) C B a) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma ? P(C) = = 1 2

33 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN = Les activités de fin de semaine. = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard. (100) (100) C B b) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma et qui a joué au billard ? P(C B) = = 1 10

34 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN = Les activités de fin de semaine. = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard. (100) (100) C B c) Sachant que la personne est allée au cinéma, quelle est la probabilité quelle ait aussi joué au billard ? P C (B) = = P(B C) P (C)

35 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN = Les activités de fin de semaine. = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard. (100) (100) C B d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité quelle soit aussi allée au cinéma ? P B (C) = = P(B C) P (B)

36 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 dentre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose. Diagramme de VENN = Les activités de fin de semaine. = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard. (100) (100) C B d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité quelle soit aussi allée au cinéma ? 10 Donc, P B (C) P C (B)

37 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Tableau à DOUBLE ENTRÉE = Les loisirs préférés de 100 personnes. = Les loisirs préférés de 100 personnes. G = La personne est un gars. S = La personne pratique un sport. (100) (100) G S Pratique un sport Fait autre chose TotalGars Fille Total Loisir Sexe

38 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Tableau à DOUBLE ENTRÉE Pratique un sport Fait autre chose Total Gars Fille Total Loisir Sexe a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ? P(G S) = = 2 5 b) Quelle est la probabilité de choisir quelquun qui fait autre chose ? P(S) = = 3 10 c) Quelle est la probabilité de choisir une fille ou quelquun qui pratique un sport ? P(G U S) = = (70 – 30) = 4 5

39 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Tableau à DOUBLE ENTRÉE Pratique un sport Fait autre chose Total Gars Fille Total Loisir Sexe d) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité quil pratique un sport ? = = 2 3 P G (S) = P(G S) P (G) e) Sachant que la personne choisit fait autre chose, quelle est la probabilité quelle soit une fille ? = = 1 3 P S (G) = P(S G) P (S) f) Sachant que la personne choisit pratique un sport, quelle est la probabilité quelle ne soit pas une fille ? = = 4 7 P S (G) = P(S G) P (S)

40 À partir du tableau à double entrée précédent, faisons un arbre des probabilités. ARBRE des probabilités Pratique un sport Fait autre chose Total Gars Fille Total Loisir Sexe Départ F 40 / 100 G 60 / 100 A 10 / 40 S 30 / 40 A 20 / 60 S 40 / 60

41 Départ F 40 / 100 G 60 / 100 A 10 / 40 S 30 / 40 A 20 / 60 S 40 / 60 a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ? P(G S) = x = = 2 5 b) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité quil pratique un sport ? = = 2 3 P G (S) = P(G S) P (G)

42 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Événements dépendants et indépendants Événements dépendants et indépendants DÉPENDANTS : Lorsque la réalisation dun événement influence la probabilité de réalisation dun autre événement. P A (B) P(B) P A (B) = P(B) INDÉPENDANTS : Lorsque la réalisation dun événement ninfluence pas la probabilité de réalisation dun autre événement. P(A B) = P(A) P(B)

43 Ex. : Une urne contient des billes bleues et des billes rouges. On tire deux billes consécutives. On considère les événements suivants : Tirage SANS remise : A = Tirer une bille bleue au 1 er tirage. B = Tirer une bille bleue au 2 e tirage. Les événements A et B sont DÉPENDANTS. P A (B) P(B) Tirage AVEC remise : Les événements A et B sont INDÉPENDANTS. P A (B) = P(B)

44 Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C Donc : A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {3, 6} 4 5

45 Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 a) Les événements A et B sont-ils dépendants ? OUI. P(A B) = 0 Réponse : P(A) P(B) = ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) = 9 / 36 = 1 / 4 Donc P(A B) P(A) P(B)

46 Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 b) Les événements A et C sont-ils dépendants ? NON, ils sont indépendants. Réponse : P(A C) = 1 / 6 P(A) P(C) = ( 3 / 6 ) ( 2 / 6 ) = 6 / 36 = 1 / 6 Donc P(A C) = P(A) P(C)

47 Ex. : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 c) Les événements B et C sont-ils dépendants ? NON, ils sont indépendants. Réponse : P(B C) = 1 / 6 P(B) P(C) = ( 3 / 6 ) ( 2 / 6 ) = 6 / 36 = 1 / 6 Donc P(B C) = P(B) P(C) On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :

48 Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - Événements mutuellement exclusifs Événements mutuellement exclusifs DÉFINITION : Lorsque deux événements ne peuvent pas se produire en même temps. P(A B) = 0 A B = A B =

49 Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 a) Les événements A et B peuvent-ils se produire en même temps ? NON. Ils sont donc mutuellement exclusifs. P(A B) = 0 Remarque : Réponse :

50 Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 b) Les événements A et C peuvent-ils se produire en même temps ? OUI. Ils sont donc non mutuellement exclusifs. P(A C) 0 Remarque : Réponse :

51 Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. (6) (6) A B C 4 5 c) Les événements B et C peuvent-ils se produire en même temps ? OUI. Ils sont donc non mutuellement exclusifs. P(B C) 0 Remarque : Réponse :


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