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Espérance mathématique et Jeu équitable. Espérance mathématique Lespérance mathématique dune variable aléatoire est la valeur de cette variable aléatoire.

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1 Espérance mathématique et Jeu équitable

2 Espérance mathématique Lespérance mathématique dune variable aléatoire est la valeur de cette variable aléatoire multipliée par sa probabilité dapparition. Exemple: Le premier prix dune loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/ La valeur espérée de ce billet est donc : X $ = 10 $ Dans le cas dun jeu avec une probabilité de gain et une probabilité de perte, lespérance mathématique se nomme plus souvent espérance de gain. Cette espérance de gain est un indicateur de ce quun joueur pourrait gagner ou perdre en moyenne sil jouait un grand nombre de fois.

3 Espérance de gain P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =Espérance de gain = ( gain – mise initiale)mise initiale Lespérance de gain se calcule à laide de la formule suivante: Reprenons lexemple de la loterie: Le premier prix dune loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 20 $. P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = ( gain – mise initiale)mise initiale X $ = - 10 $ $ = X 9, 98 $ 19,98 $ Probabilité de gagnerProbabilité de perdre Ce jeu est donc désavantageux pour le joueur ! ( $ – 20 $ ) - Probabilité de gagner Probabilité de perdre

4 Espérance de gain P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =Espérance de gain = Lespérance de gain se calcule à laide de la formule suivante: Reprenons lexemple de la loterie: Le premier prix dune loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 5 $. P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = ( gain – mise initiale)mise initiale X $ = 5 $ $ X 9, 995 $ 4,995 $ Probabilité de gagnerProbabilité de perdre Ce jeu est donc avantageux pour le joueur ! ( $ – 5 $ ) - =

5 Espérance de gain Exemple 1 : Dans un jeu de roulette, une personne ayant misé 10 $ sur un numéro gagnant reçoit 35 fois sa mise en plus de se voir remettre sa mise initiale. Les cases de la roulette sont numérotées de 0 à 36. P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = Espérance de gain = x 350x 10 = ,27 $ Si la personne jouait plusieurs fois, elle perdrait en moyenne 0,27 $. 35 fois la mise donc 35 X 10 $ On na pas, ici, à soustraire la mise puisquon nous la redonne = - De 0 à 36, donc 37 possibilités.

6 Espérance de gain Exemple 2 : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant dargent indiqué par la pointe lorsque la roue simmobilise. 5$ 15$ 5$ 25$ 20$ La mise est de 10$ P(gain) x gain net - 0 =Espérance de gain = X 5X X X - 5 = = ,88 $ Espérance de gain positive; avantageux pour le joueur. 2 chances sur 8 de gagner 5$ car je perds ma mise (10$). Une chance sur 8 de gagner 10$ car je perds ma mise (10$). Une chance sur 8 de gagner 15$ car je perds ma mise (10$). 4 chances sur 8 de perdre 5$ car je perds ma mise (10$). Remarque:Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur ; la probabilité de perdre est donc nulle.

7 Une espérance de gain négative indique quun joueur est perdant à long terme. Contrairement, une espérance de gain positive avantage un joueur à long terme. Nous dirons quun jeu est équitable si lespérance de gain est égale à 0. Espérance de gain

8 X ( 10 – 20 ) Jeu équitable 5$ 10$ 5$ 60$ = X X X - 10 Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant dargent indiqué par la pointe lorsque la roue simmobilise. La mise est de 20$ = Espérance de gain = Le jeu est donc équitable ! Remarque:Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle. = X ( 60 – 20 ) X ( 5 – 20 ) + 4 1

9 Lors dun tirage, un billet coûte 15 $. Les prix à gagner sont: un voyage au Mexique dune valeur de $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma dune valeur de $ avec 3 chances sur 500 de gagner. Quelle est lespérance de gain pour ce tirage ? P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = X X X 15= = = - 4 $ Combien devrait coûter un billet afin que le tirage soit équitable ? 15 $ - 4 $ = 11 $ Recherche dun jeu équitable

10 Si le billet coûte 11 $. Les prix à gagner sont: un voyage au Mexique dune valeur de $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma dune valeur de $ avec 3 chances sur 500 de gagner. Quelle est lespérance de gain pour ce tirage ? P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = X X X 11= = = 0 $ Preuve

11 Recherche dun jeu équitable 5$ 20$ 10$ X -10X X 5 Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant dargent indiqué par la pointe lorsque la roue simmobilise. Si ce jeu est équitable, quel est le dernier montant sur la roulette ? La mise est de 15$ = 0 Espérance de gain = X x + 4 x =0 Car le jeu est équitable ! x + = 0 x + = 0 x = 10 Ainsi, la dernière case est 25$, il ne faut pas oublier que le joueur perd sa mise. 25$ x Remarque:Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle.


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