La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Quelques calculs de probabilités. Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Quelques calculs de probabilités. Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )"— Transcription de la présentation:

1 Quelques calculs de probabilités

2 Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )

3 nombre de cas favorables Calcul de la probabilité dun événement La probabilité dun événement se calcule comme suit : P(événement) = nombre de cas possibles Exemple : P(cœur) = nombre de cas possibles quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »? = Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes, 4 1 = On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur. P( choisir une carte de cœur ) = 4 1

4 nombre de cas favorables P(événement) = nombre de cas possibles Comme il y a toujours moins de cas favorables que de cas possibles, la probabilité dun évènement est toujours comprise entre 0 et 1. Exemple : quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »? Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes, Remarque Remarque :Une probabilité peut être exprimée sous la forme dune fraction, dun nombre décimal ou dun pourcentage. 4 1 = 0,25 = 25 % nombre de cas favorables P(cœur) = nombre de cas possibles = 4 1 =

5 Problème On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité « dobtenir une somme de 7 ». Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats Nombre de cas possibles : 6 X 6 = 36 Nombre de cas favorables :6 P (obtenir une somme de 7) : nombre de cas favorables nombre de cas possibles 6 36 = 1 6 = + P (obtenir une somme de 7) : 1 6

6 Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : 2 tirages )

7 Lorsquune expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il faut savoir si une étape a une influence sur létape suivante. Si la 1 ère étape na pas dinfluence sur la 2 e étape, les évènements sont indépendants un de lautre. Si la 1 ère étape a une influence sur la 2 e étape, les évènements sont dépendants un de lautre. Les tirages avec remise et sans remise en sont des exemples. Si les tirages se font avec remise, alors les évènements nont pas dinfluence les uns envers les autres; ce sont des évènements indépendants. Si les tirages se font sans remise, alors les évènements ont une influence les uns envers les autres; ce sont des évènements dépendants.

8 Deux événements peuvent être indépendants Cest-à-dire que la réalisation de lun ninfluence pas la probabilité de réalisation de lautre. On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie dune bille bleue si on remet la boule dans lurne? Exemple Comme on remet la boule dans lurne, le deuxième tirage ne sera pas influencé par le premier tirage. Cest ce quon appelle un tirage avec remise.

9 Deux événements peuvent être dépendants Cest-à-dire que la réalisation de lun influence la probabilité de réalisation de lautre. On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans lurne. Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que lon ne remet pas la boule obtenue au premier tirage. Exemple Cest ce quon appelle un tirage sans remise.

10 Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leur probabilité en utilisant un arbre de probabilités.

11 Arbre de dénombrement et arbre de probabilités Larbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats dune expérience aléatoire. Exemple On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité dobtenir 2 fois « pile ». 1 er lancer2 e lancer Arbre de dénombrement P, PP, FF, PF, F pièce P F F P P F résultats

12 Larbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats dune expérience aléatoire. 1 er lancer2 e lancer Arbre de dénombrement P, P P, F F, P F, F pièce P F F P P F résultats P( P, F ) = 1 résultat 4 résultats = 1 4

13 pièce 1 er lancer2 e lancer P F F P P F probabilités Il y a une chance sur deux dobtenir pile. Larbre de probabilités est obtenu en inscrivant sur un arbre de dénombrement la probabilité de chaque résultat. Pour obtenir la probabilité, on multiplie ensemble les nombres sur chacune des branches. P( P, F ) = 1 4 Larbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat

14 Arbres de probabilités pièce 1 er lancer2 e lancer P F F P P F probabilités La probabilité dobtenir « pile » suivie de « face » se calcule comme suit : P( pile suivie de face ) = P(A) X P(B) = A : obtenir pile B : obtenir face X = 1 4

15 On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie dune bille bleue si on remet la boule dans lurne? Exemple R B R B R B 3/10 7/10 3/10 7/10 3/10 7/10 3/10 X 3/10 = 9/100 3/10 X 7/10 = 21/100 7/10 X 3/10 = 21/100 7/10 X 7/10 = 49/100 1 ère pige2 e pigeprobabilités Avec la formule: P( rouge suivie bleue ) = P(R) X P(B) = 3 10 X = Probabilité de deux évènements indépendants R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. Larbre de probabilités (avec remise)

16 Larbre de probabilités (sans remise) R B R B R B 3/10 7/10 2/9 7/9 3/9 6/9 3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15 3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30 7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30 7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15 1 ère pige2 e pigeprobabilités On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans lurne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivie dune bille bleue ? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. Il ne reste que 9 boules dans lurne Exemple P( rouge suivie bleue ) = 3 10 X = = 7 30 et 2 boules rouges.

17 Larbre de probabilités (sans remise) R B R B R B 3/10 7/10 2/9 7/9 3/9 6/9 3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15 3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30 7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30 7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15 1 ère pige2 e pigeprobabilités X= Dans lexemple, la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge. Ici, il faut lire la probabilité de lévènement B sachant lévènement R. Avec la formule: P(R) X P(B R) = 7 30

18 - sil ny a pas de remise de la bille dans lurne (sans remise) : X 90 6 = 15 1 = On na pas remis la première bille dans lurne. On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de lévénement « tirer successivement 2 billes rouges » se note : P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) X P(Rouge) - sil y a remise de la bille dans lurne (avec remise) : 10 3 = 3 X = P(Rouge suivie de Rouge) = les 2 évènements sont indépendants un de lautre. le 2 e évènement est dépendant du premier. P(R) X P(R R)

19 P(A) X P(B) A : obtenir pileB : obtenir le nombre 4 Quelle est la probabilité dobtenir pile suivie du nombre 4 ? X = 1 12 P ( P, 4 ) = Problème Ici, le premier tirage na aucune influence sur le deuxième tirage. Les 2 évènements sont indépendants lun de lautre. P ( obtenir pile ) = 1 2 P ( obtenir 4 ) = 1 6 Lors dune expérience aléatoire, on lance successivementune pièce de monnaie et un dé.

20 Lors dune expérience à 2 étapes, la probabilité dobtenir un à la suite de lautre deux évènements indépendants se calcule par : P(A) X P(B) Lors dune expérience à 2 étapes, la probabilité dobtenir un à la suite de lautre deux évènements dépendants se calcule par : P(A) X P(B I A)


Télécharger ppt "Quelques calculs de probabilités. Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )"

Présentations similaires


Annonces Google