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Probabilités. Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre.

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1 Probabilités

2 Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre de Fermat ( ) et Blaise Pascal ( ), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des probabilités. Pierre de Fermat Blaise Pascal

3 I. Vocabulaire 1) Expérience aléatoire Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions : - Elle conduit à des résultats possibles que lon peut nommer. - On ne peut pas prévoir ces résultats. Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire s'appelle aussi une issue. Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde quel nombre on obtient. Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : - Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. - Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.

4 2) Evénement Un événement dans une expérience aléatoire est constitué de plusieurs issues (ou résultats). Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes. On tire une carte au hasard parmi les cinq. Obtenir une reine est un événement. Obtenir un cœur est un autre événement.

5 II. Probabilités 1) Probabilité et fréquence Lorsquon répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence de nimporte quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour dun nombre : la probabilité de cet événement. Le lien f û t é tabli par le math é maticien suisse Jacques Bernoulli ( )

6 Exemple : On dispose dune pièce de monnaie. Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, et que lon compte le nombre de fois quelle donne pile et le nombre de fois quelle donne face, la fréquence de ces deux résultats va se stabiliser autour de ½. Remarque : La probabilité dun événement est en quelque sorte la chance que cet événement se produise. Avec lexemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2 dobtenir face…

7 Nous appelons lensemble de tous les résultats possibles lespace échantillonnal de lexpérience aléatoire et nous pouvons dénombrer au moyen dune figure appelée arbre de probabilités ou diagramme arborescent. 2) Probabilité et espace échantillonnal P F P P F F lespace échantillonnal diagramme arborescent PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF P P P P F F F F

8 Voici un diagramme arborescent pour le lancé de deux dés. Donne lespace échantillonnal

9 Voici lespace échantillonal pour le lancé de deux dés

10 3) Calculer une probabilité Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale au quotient: Nb de résultats favorables à lévénement Nb de résultats possibles P( E ) = Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ? Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles. Le résultat favorable à l'événement « obtenir un chiffre pair » est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables. On a alors P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6 ou encore 1/2

11 Remarques :- La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. - La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1. L'événement contraire de l'événement A est celui qui se réalise quand A n'a pas lieu. On a alors P( non A ) = 1 - P( A ) Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. L'événement « non 2 » est constitué de 5 issues « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ». On a P( 2 ) = 1/6Donc P( non 2 ) = 5/6

12 Notes importantes : Si p est la probabilité quun événement se produise alors 0 p 1. Si p = 1, lévénement est une certitude. Si p = 0, lévénement est impossible. Plus p est près de 1, plus lévénement est probable. Plus p est près de 0, moins probable est lévénement. Si q est la probabilité que lévénement naie pas lieu, alors q = 1 - p

13 Calculer la probabilité dévénements mutuellement exclusifs Deux événements sont incompatibles sils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps. –Exemple 1: Un jeu consiste à faire rouler un seul dé. Vous gagnez si le dé montre un 3 ou un 5. Quelle est la probabilité de gagner ? –P(3) ou P(5) sont des événement incompatibles alors –P(gagner) = P(3) + P(5)

14 Note bien la prochaine diapositive!

15 Évènements incompatibles et " OU" Le mot "ou" entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont incompatibles. Il faut donc additionner les probabilités lorsque tu vois le mot "OU "!

16 Ainsi, si un événement peut se produire de deux façons incompatibles qui ont les probabilités p 1 et p 2, alors la probabilité que cet événement se produise est la somme soit p = p 1 + p 2 On peut seulement additionner si les événements sont incompatibles. Calculer la probabilité dévénements mutuellement exclusifs

17 À ton tour : Un nombre entier entre 1 à 10 inclusivement est choisi au hasard. Quelle est la probabilité de choisir un nombre pair ou un nombre inférieur à 5 ? Calculer la probabilité dévénements mutuellement exclusifs

18 Calculer la probabilité dévénements indépendants Deux événements sont appelés indépendants si la réalisation de lun ninfluence pas celle de lautre. –Exemple 1 : –Un jeu consiste à faire rouler un dé, puis à lancer une pièce de monnaie. Vous gagnez si le dé montre un 3 et la pièce montre le côté face. Quelle est votre probabilité de gagner ? Les évènements 3 et face sont des événements indépendants. P(gagner) = P(3) et P(face) 1/6 x 1/2 = 1/12

19 Note bien la prochaine diapositive!

20 Évènements indépendant et ET" Le mot " et " entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont indépendants. Il faut donc multiplier les probabilités lorsque tu vois le mot " ET "!

21 Calculer la probabilité dévénements indépendants À ton tour: On tire une bille dun sac contenant 3 billes vertes, 2 billes bleues et 4 billes rouges. On la remet ensuite dans le sac et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte et une bille bleue? P(verte et bleue) = P(verte) x P(bleue) = 3/9 x 2/9 = 6/81 = 2/27

22 3) Etude dune expérience à deux épreuves On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Calculer la probabilité de lévènement E : « On obtient au moins une fois PILE. » On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités. P F P F P F (P ; P) Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. (probabilité dobtenir deux piles) (P ; F) (probabilité dobtenir pile puis face) (F ; P) (probabilité dobtenir face puis pile) On a P( E ) == La probabilité que lévènement E se réalise est de ¾.

23 23 familles de 4 enfants : P(nombre de filles) F G F F F F F F G G G G G Nombre de Filles F G F G F G F G F G F G F G F G G Valeurs possibles01234 probabilités Simulation 4) Etude dune expérience à quatre épreuves

24 Avec remise et sans remise Avec remise: expression qui veut dire que tu replace lobjet là où tu las pris. Cela naffect pas le calcul de tes probabilités. Sans remise: expression qui veut dire que tu ne replace pas lobjet là où tu las pris. Cela affect le calcul de tes probabilités..

25 Problème avec remise On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux cartes au hasard avec remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2? P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) = 2/52 x 4/52 = 1/26 x 1/13 = 1/338

26 Problème sans remise On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux cartes au hasard sans remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2? P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) = 2/52 x 4/51 = 1/26 x 4/51 = 4/1326 Si il ny a pas de remise alors il y a une carte de moins lors de la 2 ième pige.

27 Essaie un problème sans remise! Si il ny a pas de remise alors il y a une bille de moins lors de la 2 ième pige. Une boîte contient 8 billes vertes, 12 blanches et 4 bleues. Tu dois tirer deux billes au hasard sans remise. Trouve la probabilité de tirer un bille blanches puis une bleues. P(blanche et bleue) = P(blanche) et P(bleue) = 12/24 x 4/23 = 1/2 x 4/23 = 4/46 = 2/23


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