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Permutations, arrangements et combinaisons. Le dénombrement sintéresse à étudier et à dénombrer divers types de groupements que lon peut faire à partir.

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1 Permutations, arrangements et combinaisons

2 Le dénombrement sintéresse à étudier et à dénombrer divers types de groupements que lon peut faire à partir dun ensemble. Il est né des jeux de hasard et sest fortement développé sous linfluence du calcul des probabilités. Parmi les différents types de dénombrement, nous en étudierons trois: - les permutations; - les arrangements; - les combinaisons.

3 Permutation Une permutation est une disposition ordonnée (avec ordre) des éléments dun ensemble. Exemple : Combien y a-t-il de façons différentes de disposer les lettres suivantes ? A, B, C, D. A, B, C, D, Ceci est un premier résultat, donc une première permutation. A, B, D, C, Ceci est un deuxième résultat, donc une deuxième permutation. A, C, B, D, A, C, D, B, A, D, B, C, A, D, C, B, B, A, C, D, B, A, D, C, B, C, A, D, B, C, D, A, B, D, A, C, B, D, C, A, C, A, B, D, C, A, D, B, C, B, A, D, C, B, D, A, C, D, A, B, C, D, B, A, D, A, B, C, D, A, C, B, D, B, A, C, D, B, C, A, D, C, A, B, D, C, B, A, Il y a 24 dispositions différentes ou 24 permutations. Lordre est important !

4 Arrangement Un arrangement est une disposition ordonnée (avec ordre) dune partie ( un sous-ensemble ) dun ensemble. Exemple:Combien y a-t-il de façons différentes de disposer 2 lettres parmi lensemble suivant ? A, B, C, D. A, B, Ceci est un premier résultat, donc un premier arrangement. A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, Ceci est un deuxième résultat, donc un deuxième arrangement. Lordre est important ! Il y a 12 dispositions différentes ou 12 arrangements. Remarque :Les arrangements sont donc les permutations dune partie dun ensemble.

5 Combinaison Une combinaison est une disposition non ordonnée (sans ordre) dune partie ( un sous-ensemble ) dun ensemble. Exemple : Dans le nombre darrangements précédents: A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, On doit enlever les résultats qui contiennent les mêmes lettres car lordre na pas dimportance. A, B et B, A sont « une même combinaison » car lordre nest pas important. On doit donc éliminer les résultats identiques. Il y a donc 6 combinaisons possibles. Remarques :- Les combinaisons ne tiennent pas compte des permutations. - Les combinaisons sont donc des arrangements restreints ( sans tenir compte de lordre ).

6 Déterminer le nombre de permutations dun ensemble Pour déterminer le nombre de permutations dun ensemble, il sagit de suivre le raisonnement ci-dessous. Exemple :Dans lensemble suivant : A, B, C, D. 1 ère lettre2 e lettre3 e lettre4 e lettre Pour la première lettre, il y a 4 possibilités; 4 pour la deuxième lettre, il reste 3 possibilités, car la première lettre est déjà utilisée; pour la troisième lettre, il reste 2 possibilités, car les deux premières lettres sont déjà utilisées; pour la quatrième lettre, il reste 1 possibilité, car les 3 premières lettres sont déjà utilisées; 321 On multiplie ensemble les résultats. XXX = 24 permutations

7 Il y a donc 24 dispositions différentes de placer les lettres A, B, C, D. Ce qui correspond à : A, B, C, D, A, B, D, C, A, C, B, D, A, C, D, B, A, D, B, C, A, D, C, B, B, A, C, D, B, A, D, C, B, C, A, D, B, C, D, A, B, D, A, C, B, D, C, A, C, A, B, D, C, A, D, B, C, B, A, D, C, B, D, A, C, D, A, B, C, D, B, A, D, A, B, C, D, A, C, B, D, B, A, C, D, B, C, A, D, C, A, B, D, C, B, A,

8 Attention Dans lensemble suivant : A, B, C, D. 1 ère lettre2 e lettre3 e lettre4 e lettre 4321 XXX = 24 permutations Le nombre de permutations se compte comme suit : car une même lettre ne revient pas ( tirage sans remise ). Sil y avait remise, les permutations se calculeraient comme suit : 1 ère lettre2 e lettre3 e lettre4 e lettre 4444 XXX = 256 permutations Remarque : Les permutations se calculent le plus souvent sans remise.

9 Déterminer le nombre darrangements Pour déterminer le nombre darrangements dun sous ensemble, il sagit de suivre le raisonnement ci-dessous. Exemple : Combien y a-t-il de façons différentes de disposer 2 lettres parmi lensemble suivant : A, B, C, D. Ici, nous navons que 2 lettres à placer à la fois, donc 1 ère lettre2 e lettre 43 X = 12 arrangements Pour la première lettre, il y a 4 possibilités; pour la deuxième lettre, il reste 3 possibilités, car la première lettre est déjà utilisée. On multiplie ensemble les résultats.

10 Il y a donc 12 dispositions différentes de placer deux lettres. Ce qui correspond à : A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C,

11 Attention Dans cet exemple, le nombre darrangements se compte comme suit : car une même lettre ne revient pas ( tirage sans remise ). Sil y avait remise, le nombre darrangements se calculerait comme suit : 1 ère lettre2 e lettre 44X= 16 arrangements Remarque : Les arrangements se calculent le plus souvent sans remise. 1 ère lettre2 e lettre 43 X = 12 arrangements

12 Déterminer le nombre de combinaisons Pour déterminer le nombre de combinaisons. Il faut enlever aux arrangements ceux qui se répètent car lordre na pas dimportance. A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, Pour ce faire : On calcule, en premier, le nombre total darrangements; dans lexemple précédent : 4 X 3 = 12 arrangements; on calcule, en deuxième, les arrangements pour un seul résultat ; comme il y a 2 lettres à placer :1 ère lettre2 e lettre 21 X = 2 arrangements Pour un résultat de 2 lettres, il y a 2 manières différentes de les disposer.

13 Déterminer le nombre de combinaisons Pour déterminer le nombre de combinaisons. Il faut enlever aux arrangements ceux qui se répètent car lordre na pas dimportance. A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, On divise alors le nombre total darrangements par le nombre darrangements pour un résultat. Nombre de combinaisons : nombre total darrangements nombre darrangements pour un résultat 12 2 = 6 combinaisons

14 Problème Un comité a 5 postes à combler : un président, un vice-président, un secrétaire, un trésorier et un conseiller ; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? Ici, lorsquune personne occupe en poste, elle ne peut en occuper un autre ( donc sans remise ). PrésidentVice-présidentSecrétaireTrésorierConseiller 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 Il y a 120 possibilités différentes ou 120 permutations possibles.

15 Problème Un deuxième comité a 3 postes à combler : un président, un secrétaire et un trésorier; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? Ici, il nexiste que 3 postes à combler pour 5 personnes; de plus, lorsquune personne occupe un poste, elle ne peut en occuper un autre (donc sans remise ). PrésidentSecrétaireTrésorier 5 X 4 X 3= 60 Il y a 60 possibilités différentes de combler 3 postes à partir de 5 personnes ou 60 arrangements.

16 Remarque : À la lecture dun problème, il faut comprendre si on travaille avec tout lensemble ( permutations ) ou avec une partie de lensemble ( arrangements ). Un comité a 5 postes à combler, un président, un vice-président, un secrétaire, un trésorier et un conseiller ; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? PERMUTATIONS Un deuxième comité a besoin de combler le poste de président de vice- président et de secrétaire; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? ARRANGEMENTS

17 Problème 2 e étape : Calculer le nombre darrangements pour un résultat; PrésidentSecrétaireTrésorier 3 X 2 X 1= 6 arrangements 1 ère étape : On calcule le nombre total darrangements : 60 arrangements Pour un résultat de 3 postes, il y a 6 manières différentes de les disposer. 3 e étape : Combinaisons : nombre total darrangements ( 60 ) nombre darrangements pour un résultat ( 6 ) = 10 combinaisons { ( P, S, T ), ( P, T, S ) ( S, P, T ) ( S, T, P ) ( T, P, S ) ( T, S, P ) } Remarque : À la lecture dun problème, il faut comprendre si lordre a de limportance ( arrangements ) ou si lordre na pas dimportance ( combinaisons ). Un deuxième comité a 3 postes à combler : un président, un secrétaire et un trésorier; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

18 Problème À la loto 649, le billet gagnant comporte 6 numéros sur un total de 49 numéros. Chaque numéro est inscrit sur une boule placée dans un seul boulier; lorsquune boule est tirée, elle ne peut pas revenir. Cest donc un tirage sans remise. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? 1) Calculer le nombre total darrangements : 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 ; car on ne tire que 6 numéros; 2) Calculer le nombre darrangements pour un résultat : 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 ; pour un résultat.

19 Nombre de combinaisons : 3) 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 nombre darrangements pour un résultat nombre total darrangements = Avec la calculatrice : ( 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 ) ÷ ( 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 )= Il y a donc combinaisons possibles. Quelle est la probabilité de gagner ? Une combinaison gagnante sur combinaisons possibles


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