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Septième étape : travailler avec des graphes probabilistes.

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1 Septième étape : travailler avec des graphes probabilistes

2 Etude dune situation (à partir de lexercice 36 page 244 du Bréal) On dispose dune urne rouge contenant une boule rouge et quatre boules noires. On dispose aussi dune urne noire contenant trois boules rouges et une boule noire. On effectue une suite de tirage dune boule selon les règles suivantes : 1) le premier tirage a lieu dans lune des deux urnes choisies au hasard ; 2) après chaque tirage dans une urne, la boule est remise dans la même urne ; 3) après chaque tirage, on tire dans lurne qui a la couleur de la boule tirée. Modéliser cette situation. Urne rougeUrne noire

3 Première idée : larbre de probabilité UR UN 1/2 1/5 4/5 br bn 3/4 1/4 bn br UR 1/5 4/5 br bn UR 1/5 4/5 br bn UN 3/4 1/4 br bn UN 3/4 1/4 br bn Choix de lurnePremier tirage Deuxième tirage … Urne rouge Urne noire

4 br bn UR 1/5 4/5 br bn UN 3/4 1/4 br bn n e tirage(n + 1) e tirage pnpn qnqn (probabilités simples) (probabilités conditionnelles) On en déduit que :

5 Si la suite (p n ) a une limite p, elle vérifie nécessairement : Ce qui donne p = 15/31 (et donc q = 16/31). Travaillons donc avec p n – 15/31. La relation de récurrence donne : La suite (p n – 15/31) est géométrique de raison – 11/20 : elle converge vers 0, et ce quel que soit le choix de p 0.

6 Deuxième représentation : le graphe probabiliste Deux états possibles : premier état, boule rouge ; deuxième état, boule noire. Quatre probabilités conditionnelles : probabilité davoir une boule rouge sachant quau tirage précédent, on a eu une boule noire, etc. Un graphe pondéré (le graphe probabiliste) qui visualise cette situation 4/5 3/4 1/5 1/4 La matrice de transition du graphe probabiliste : M = se traduit par :

7 À laide de la matrice, on peut calculer simplement les probabilités p n et q n et voir comment elles évoluent. Problème : comment calculer M n ? Le résultat général dune situation à deux états est au programme (deux démonstrations dans les manuels : par les suites, comme dans notre exemple, ou par le calcul explicite de M n par la formule du binôme, comme dans le document daccompagnement.)

8 La visualisation de la limite peut être faite avec une calculatrice : dans notre exemple, M n semble avoir pour limite : On démontre que cest bien la limite en utilisant une des deux méthodes précédemment exposées.

9 Létat limite est indépendant des probabilités des états initiaux…

10 Quelques définitions : Matrice stochastique : matrice dont les coefficients sont positifs et dont la somme sur chaque ligne vaut 1. Cest le cas par exemple de la matrice de transition dun graphe probabiliste. Chaîne de Markov : on les rencontre quand on a affaire à un système qui peut prendre un nombre fini détats et qui évolue par étapes successives dun état à un autre. La probabilité quà une étape donnée le système soit dans un état ne dépend que létat précédent. Plus précisément, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n ), chacune prenant pour valeurs les différents états possibles. Graphe probabiliste : graphe orienté à k sommets, pondéré par des nombres positifs tels que la somme des poids des arêtes sortant de chaque sommet vaut 1. Chacun des poids peut sinterpréter comme une probabilité conditionnelle.

11 Andrei A. MARKOV

12 Résultat général On considère un graphe probabiliste à k états (numérotés de 1 à k). On appelle M la matrice de transition de ce graphe (m ij est la probabilité de passer de létat i à létat j) et on suppose que les m ij sont tous strictement positifs. On note P n le vecteur à une ligne et k colonnes donnant les probabilités des k états à létape n. 1) La suite (P n ) admet une limite P, indépendamment du vecteur initial P 0. 2) La suite (M n ) converge vers une matrice M, dont les k lignes sont identiques, la somme des termes dune ligne valant 1. 3) P M = P. 4) P M = P. (On dit que P est un état stable de la matrice M)

13 Remarques sur les puissances de matrice… Lhabitude pour calculer la puissance n-ième dune matrice M (stochastique ou non) est de la réduire en calculant ses valeurs propres cest-à-dire en cherchant les nombres réels ou complexes tels que : MV = V Si la matrice M est diagonalisable, on peut écrire : donc Et la limite de D n, et de M n, est facile à obtenir. et la limite de Dn est facile à déterminer. Que sait-on des valeurs propres dune matrice stochastique ? 1 est toujours valeur propre, associée au vecteur propre constitué dune colonne de 1 ; si les coefficients de la matrice M sont tous strictement positifs, 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1.

14 Voir aussi lexemple de Gérard Grancher… (Kevin et ses retards au lycée)

15 Kévin narrive pas toujours à lheure au lycée : il nest jamais en retard ou en avance deux jours consécutifs ; sil était en retard la veille, il sera en avance une fois sur deux ; quand un jour il est en avance, le lendemain Kévin sera en retard une fois sur quatre ; Kévin a la même probabilité dêtre en retard, ponctuel ou en avance, quand la veille il était à lheure. R P A

16 Questions : Kévin était en avance le jour de la rentrée, que peut-on prévoir pour le troisième jour ? Quand il est en retard, Kévin doit venir chercher un billet de retard auprès du conseiller principal déducation. Avec quelle fréquence Kévin visitera le bureau du CPE ? Au troisième retard, un avertissement sera décerné à Kévin. En moyenne, au bout de combien de jours, cet événement se réalisera-t-il ? Jérémie, le copain de Kévin, fréquente lui aussi assez régulièrement le bureau du CPE. Pouvez-vous aider le CPE à estimer la matrice de transition modélisant le comportement de Jérémie ?


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