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1 LE CHOIX EN CONTEXTE DINCERTITUDE (suite...). 2 Un individu qui a de laversion pour le risque (risquophobe) préférera un revenu certain R à une situation.

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1 1 LE CHOIX EN CONTEXTE DINCERTITUDE (suite...)

2 2 Un individu qui a de laversion pour le risque (risquophobe) préférera un revenu certain R à une situation risquée despérance E(R) = R. Un individu qui est neutre face au risque sera indifférent entre un revenu certain R et une situation risquée despérance E(R) = R. Un individu qui est risquophile (aime le risque) préférera une situation risquée despérance E(R) = R à un revenu certain R.

3 3 U = f(R) pour un individu «risquophobe» U R 0 U(1000) U(3000) U(5000) Gain Perte

4 4 La prime de risque La personne qui a de laversion pour le risque est prête à payer une prime de risque. La prime de risque correspond à la différence entre lespérance de revenu E(R) dune situation risquée et léquivalent certain R qui procure le même niveau dutilité que la situation risquée.

5 5 La prime de risque U R 0 U(R 1 ) R1R1 R2R2 E(U(R)) E(R) Prime de risque U(R 2 ) R Equivalent certain

6 6 Ex: Assurance-collision dune voiture dont la valeur est de 4000$

7 7 Supposons U = f(R) = R 1/3 (individu risquophobe) Sans assurance: Le revenu espéré est: E(R) = P 1 * R 1 + P 2 * R 2 = 1/10 * (0) + 9/10 * (4000) = 3 600$

8 8 Sans assurance: Lutilité espérée est: E(U(R)) = P 1 U(R 1 ) + P b U(R b ) = 1/10 * (0) 1/3 + 9/10* (4 000) 1/3 = ,29 = 14,29

9 9 Quel est léquivalent certain (revenu certain) qui me procure le même niveau dutilité ? U = R 1/3 14,29 = R 1/3 (14,29) 3 = R = R

10 10 La prime de risque correspond à: E(R) sans assurance - R (revenu certain procurant le même niveau dutilité que la situation sans assurance) $ $ = 682 $

11 11 Attention !!! ICI: Prime de risque prime dassurance La prime dassurance maximale quil sera prêt à payer correspond à: Prime de risque + coût de lassurance

12 12 Le coût de lassurance est de 400 $ qui correspond à la perte espérée de la police dassurance La valeur espérée de la police dassurance est: = 1/10 * (-4000) + 9/10 (0) = - 400

13 13 Au départ, si lindividu ne sassure pas du tout, il supporte tout de même une perte espérée de 400 $ puisque le risque davoir un accident est là. Une assurance complète doit couvrir cette perte espérée puisque lassurance sert justement à transférer la totalité du risque à lassureur.

14 14 Il est par conséquent prêt à payer jusquà: 682 $ $ = $ pour son assurance. Si un assureur lui offre de payer une prime < $, lindividu choisira de sassurer. Si la prime > $, lindividu choisit de ne pas sassurer.

15 15 La prime dassurance maximale quun individu est prêt à payer correspond au coût de lassurance (fonction du risque en tant que tel) + la prime de risque que lindividu est prêt à payer. (elle est directement fonction de la préférence de lindividu face au risque)

16 16 Même exemple, mais avec U = f(R) = R 1/ 2 Sans assurance: Le revenu espéré est toujours de: E(R) = P 1 * R 1 + P 2 * R 2 = 1/10 * (0) + 9/10 * (4 000) = 3 600$

17 17 Sans assurance: Lutilité espérée est: E(U(R)) = P 1 U(R 1 ) + P b U(R b ) = 1/10 * (0) 1/2 + 9/10* (4000) 1/2 = ,24 = 56,92

18 18 Quel est léquivalent certain (revenu certain) qui me procure le même niveau dutilité ? U = R 1/2 56,92 = R 1/2 (56,92) 2 = R = R

19 19 La prime de risque correspond à: E(R) sans assurance - R (revenu certain procurant le même niveau dutilité que la situation sans assurance) $ $ = 360 $

20 20 Il est par conséquent prêt à payer jusquà: 360 $ $ = 760 $ pour son assurance. (Le premier montant correspond à la prime de risque de lindividu et le deuxième correspond au coût de lassurance).

21 21 Même un individu qui est neutre face au risque sera prêt à payer un maximum de 400 $ pour une police lui permettant de couvrir un risque de 400 $ (perte espérée sans assurance). Il serait indifférent entre la situation risquée sans assurance E(R) = $ et la situation certaine (lassurance dont la prime est de 400 $) puisque son revenu certain sera alors de $.

22 22 Ex: U = f(R) = R/100 (individu neutre face au risque) Lutilité espérée devient: E(U(R)) = P 1 U(R 1 ) + P 2 U(R 2 ) = 1/10 * (0) + 9/10 * (40) = 36

23 23 Quel est léquivalent certain qui me procure le même niveau dutilité ? R/100 = 36 R = $ La prime de risque de cet individu est: $ $ = 0 $

24 24 La prime de risque est nulle parce que, par définition, lindividu neutre face au risque est indifférent entre une situation certaine de revenu R = $ (avec assurance dont le coût est de 400 $) et une situation risquée de revenu espéré E(R) = $ (situation sans assurance) Par conséquent, il nest prêt quà payer le coût de lassurance, soit 400 $.

25 25 Au contraire, lindividu qui a de laversion pour le risque nest pas indifférent entre la situation certaine de revenu R= $ et la situation risquée de revenu espéré E(R) = $ (par définition, il préfère la situation certaine). Il est prêt à payer une prime pour se retrouver dans la situation certaine. Cette prime (maximale) est ici de 682 $.

26 26 On peut également dire quil faut compenser les individus qui ont de laversion pour le risque par une prime de risque adéquate pour quils acceptent de prendre un risque. Interprétation de la prime de risque

27 27 Reprenons notre exemple de départ. Si notre individu dispose dun revenu certain de $, il faut lui offrir un rendement espéré plus élevé dau moins 682 $ pour quil choisisse la situation risquée de notre exemple. Selon son aversion pour le risque, la compensation doit être dau moins 682 $.

28 28 Ou encore, il est vrai de dire que, face à la situation risquée de notre exemple, notre individu est prêt à renoncer (ou sacrifier) à 682 $ (la prime de risque) de revenu espéré pour se retrouver dans la situation certaine. vous êtes indifférent entre la situation riquée despérance E(U) = $ et le revenu certain de $.

29 29 Autre exemple: Vous avez un emploi qui vous rapporte un salaire fixe de $ par année. On vous offre un emploi dont le salaire est variable. Il y a alors une chance sur deux dobtenir un salaire de $ et une chance sur 2 dobtenir un salaire de $ Si votre fonction dutilité est U=f(R)=R 1/2, accepterez-vous cet emploi ?

30 30 Le salaire espéré de ce nouvel emploi est: E(R) = P 1 * R 1 + P 2 * R 2 = 1/2 * (15 000) + 1/2 * (27 000) = $

31 31 Lutilité espérée de ce nouvel emploi est: E(U(R)) = P 1 U(R 1 ) + P 2 U(R 2 ) = 1/2 * (15 000) 1/2 + 1/2 * (27 000) 1/2 = 143,39

32 32 Lutilité de votre emploi actuel est: R 1/2 = (20 000) 1/2 = 141,42 Puisque 143,39 > 141,42 vous accepterez cet emploi.

33 33 On peut également dire qu il faut compenser les individus qui ont de laversion pour le risque si on veut quils prennent un risque en leur offrant un revenu espéré plus élevé (on parle toujours de prime de risque, i.e. dune prime de rendement pour le risque).

34 34 Demande pour les actifs risqués Il existe une demande pour des actifs risqués (dont les flux de revenu sont incertains) dans la mesure ou ceux-ci compensent adéquatement linvestisseur pour le risque, en leur offrant un rendement espéré plus élevé que le rendement sur les actifs plus sûrs.

35 35 Exemple Un investisseur a $ à investir. Deux placements possibles: Une obligation du gouvernement portant intérêt à 5 %. VS Acheter actions de la compagnie ABC à 10 $.

36 36 Supposons que la compagnie ABC développe un nouveau logiciel dapplication multimédia. Si le produit atteint le stade de la commercialisation, le prix de laction montera à 20 $ probabilité de 60 %. Si le produit développé est un échec, le prix de laction chute à 3 $ probabilité de 40 %.

37 37 Lobligation offre un revenu certain de: ( ) = $ Laction offre un revenu espéré de: (1000 x 3 $) x (1000 x 20 $) x 0.6 = $ Si linvestisseur a une fonction dutilité U = f(R) = R 1/ 2 Quel placement choisira-t-il ?

38 38 Lutilité du revenu certain de lobligation est de: U = ( ) 1/2 = 102,47 Lutilité espérée des revenus incertains procurés par laction dABC est de: E(U) = 0.4 x (1000 x 3) 1/ x (1000 x 20) 1/2 = =

39 39 Puisque > linvestisseur choisira dinvestir dans les actions de la compagnie ABC. Ici, la prime de rendement (rendement espéré) offerte par les actions dABC $ $ = $ est suffisante pour compenser le risque que prend linvestisseur.

40 40 À retenir: - Dans un contexte dincertitude, les individus fondent leurs décisions sur lutilité espérée. - La forme des courbes dutilité selon quun individu est «risquophobe», neutre au risque ou «risquophile». - Comment calculer la prime de risque


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