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1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités.

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2 1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités

3 Modéliser une expérience aléatoire à laide de simulations déchantillons de chiffres au hasard. Déterminer la probabilité de réalisation d un événement. Connaître le langage des probabilités : expérience aléatoire, univers, éventualité, événement contraire. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Objectifs

4 On lance une pièce de monnaie bien équilibrée. On est en présence dune expérience aléatoire. On a deux possibilités : « pile » ou « face » qui ne sont pas prévisibles à l avance. Ces résultats sont appelés les éventualités. Lensemble de toutes les éventualités est appelé lunivers des possibles noté E. Quel est le nombre déventualités de E ? Une partie de lunivers est aussi appelée un événement ou si une unique éventualité événement élémentaire. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Enoncé

5 b) Comparer les différents résultats obtenus par les élèves de la classe. c) Regrouper les résultats obtenus par une moitié de la classe, par lautre moitié, puis par la classe entière. d) Comparer les quatre tableaux (le tableau personnel, les tableaux des deux moitiés de la classe et le tableau de la classe entière). Les résultats sont-ils conformes avec lhypothèse déquilibre de la pièce émise au départ ? a) Réaliser lexpérience en lançant une pièce à 10 reprises. Regrouper les résultats sous la forme dun tableau. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience réelle avec une pièce On dit que les fréquences fluctuent.

6 Une calculatrice dispose dun " générateur de nombres aléatoires ", cest-à-dire dun dispositif qui fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle donné. On admet que chaque nombre de cet intervalle a autant de chances dêtre obtenu. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice

7 Une calculatrice peut ainsi produire un nombre de 14 chiffres de lintervalle [0 ; 1[. Sur T I, grâce à la touche " rand " (pour random, " au hasard " en anglais). Les 10 premières décimales (resp. 14) sont affichées par les calculatrices TI 82 (resp. pour TI 89). (touches « MATH » « PRB » « RAND » ou « MATH » « Probabilité» « nbrAleat() » ). Sur CASIO, « OPT » « PROB » « RAN# ». PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice

8 PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice Question Déterminer la fréquence empirique dapparition du côté Pile de 100 lancers. Utilisation de votre calculatrice

9 Technique 1 On partage lintervalle [0 ; 1[ en deux intervalles de même amplitude : - si lon obtient un nombre de lintervalle [0 ; ½[, cela revient à obtenir Pile ; - si lon obtient un nombre de lintervalle [½; 1[, cela revient à obtenir Face. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice

10 On partage lensemble des chiffres affichés en deux parties, par exemple : - les chiffres pairs correspondent à Pile ; - les chiffres impairs correspondent à Face. Le tirage « RAND »ci-contre permet dobtenir : « Face, Pile, Face, Pile, Pile, Pile, Face, Pile, Pile, Pile ». La sortie dun seul nombre aléatoire simule 10 lancers de pièce. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice Technique 2

11 On combine plusieurs commandes de la calculatrice ou du tableur. « rand » fournit un nombre décimal de lintervalle [0 ; 1[, « 2 * rand » fournit un nombre décimal de lintervalle [0 ; 2[, « 2 * rand + 1 » fournit un nombre x de lintervalle [1 ; 3[. En prenant la partie entière de " 2 * rand + 1 " (notée " Int " sur la TI et la CASIO), on obtient alors un nombre entier égal à 1 ou 2. La commande " Int(2 * rand + 1) " SUR TI ou « Int(2*Rand#+1) » sur CASIO permet donc de simuler le jet dune pièce. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice Technique 3

12 PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec une calculatrice Technique 4 Analyser le programme suivant et expliquer comment il peut simuler le lancer dune pièce. Algorithme entrer le nombre de lancers N initialiser à 0 le nombre de Piles P initialiser à 1 le nombre de lancers I si le nombre aléatoire est inférieur à 0,5 ajouter 1 dans P ajouter 1 au nombre de lancers si le nombre de lancers est inférieur à N continuer la boucle sinon afficher PNPN

13 PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec un tableur Utilisation du tableur

14 b) Sur un tableur, on a obtenu les résultats pour lancers, avec un pas de 100 et la courbe ci-dessus. Commenter ces résultats. Conjecturer le comportement de la fréquence empirique de Pile lorsque le nombre de lancers devient grand. Quel nombre théorique obtient-on ? PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience simulée avec un tableur Résultats et conjecture

15 Le nombre obtenu est appelé probabilité de réalisation de lévénement A : « obtenir Pile ». On a : P( A ) = 0,5 La modélisation permet ainsi de choisir une loi de probabilité selon « la loi des grands nombres » PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Conclusion : Approche de la loi des grands nombres

16 La fréquence obtenue est comprise entre 0,478 et 0,522 avec un niveau de confiance de 95 %. On dit que l hypothèse de bon équilibre du dé est au seuil de risque de 5 %. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Conclusion : Précision des résultats Les formules permettant d obtenir la fourchette pour une valeur p = 0,5 et un échantillon de taille n avec un intervalle de confiance de 95% sont :

17 Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. Loi des grands nombres PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités

18 Définition Définir une loi de probabilité sur l univers E = x 1, x 2, …, x n, signifie associer à chacun des éléments x i de E un réel p i vérifiant : a)0 < p i < 1 b)p 1 + p 2 + … + p n = 1 notation : p i = p(x i ) = p( x i ) La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires de A. … Cf exemple PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités

19 Lors d une expérience aléatoire, un résultat possible est appelé une éventualité. Expérience aléatoire, éventualités, univers L ensemble de toutes les éventualités est appelé univers E (ensemble des cas possibles) PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités

20 Evénement Un événement est une partie de l univers E est l événement certain est l événement impossible L événement contraire d un événement A est l ensemble des éventualités de E qui n appartiennent pas à A, noté A PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités

21 Objectifs PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Enoncé Connaître le langage des probabilités : intersection et réunion de deux événements, événements incompatibles. Calculer l espérance, la variance et l écart type d une loi de probabilité (cas x i réels) On tire au hasard une carte dun jeu de 32 cartes. Soit A, B et C les événements suivants : A : « tirer un as » B : « tirer une figure » (cest à dire un roi, une dame ou un valet) C : « tirer un cœur »

22 Combien y a-t-il de résultats possibles au total ? Combien y a-t-il de résultats dans les événements A, B et C ? Question 1 PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 2 U On note A C lévénement A et C. a) Nommer les éventualités des événements A C et B C. b) Comment appelle-t-on lévénement A B ? U U U

23 Représenter lensemble des 32 tirages possibles dans le diagramme suivant en précisant le nombre déventualités de chaque plage : E B A C Question 3 PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités

24 On note A U C lévénement A ou C. Expliciter par une phrase lévénement A U C. Donner la liste de ses éventualités. Question 4 PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 5 Question 6 On note B lévénement constitué des tirages qui ne réalisent pas B. Expliciter par une phrase ne contenant pas de forme négative cet événement B. Que peut-on dire de B par rapport à B ? Définir de même C. Donner la liste des éventualités constituant chacun des événements suivants : B C et B C. U U

25 Question 7 PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 8 a) Dans lactivité 1 on répète un grand nombre de fois le tirage. La fréquence de lévénement A est de 0,125. Donner p( A ). Vérifier qu il est égal au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles (loi de probabilité équirépartie). b) Calculer la probabilité des événements suivants : B, C, A B, A C, A U C, C. UU Conjecturer une relation liant : a) p(A U C) et p( A ), p( C ), p(A C). b) p(C ) et p( C ). U

26 Equiprobabilité PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d une loi de probabilité Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors on dit qu il y a équiprobabilité. On a : p i = 1n1n Si A événement de E alors : p(A) = Nombre de cas favorables à la réalisation de A Nombre de cas possibles Exemples : 1) jeu de pile ou face 2) dé à 6 faces non pipé Remarque : on repère l équiprobabilité par « au hasard », par des boules « indiscernables au toucher », ou par « bien équilibré »

27 Définitions PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Incompatibilité - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d une loi de probabilité Si A et B sont deux événements n ayant aucune éventualité commune, on dit qu ils sont incompatibles (ou disjoints). (Cf exemple) A B = U L événement A ou B est formé des éventualités appatenant à A ou à B (A union B). (Cf exemple) A U B L événement A et B est formé des éventualités appartenant à A ou à B, ou aux deux (A inter B). (Cf exemple) A B U

28 Théorèmes PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d une loi de probabilité Si A et B sont deux évènements de E, on a : p ( A U B) = p(A) + p(B) - p (A B) U Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p (A U B) = p(A) + p(B) Si A est l événement contraire de A, on a : p (A) = 1 - p(A) (… cf Exemple)

29 Espérance, variance, écart-type d une loi de probabilité (x i réel) PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d une loi de probabilité n i=1 La variance est le réel positif : V = p i (x i - E) 2 + … + p n (x n - E) 2 V = p i (x i - E) 2 L écart type est la racine carrée de la variance : = V V Lespérance dune loi de probabilité est la moyenne des x i pondérés par les p i : E = p 1 x 1 + p 2 x 2 + … + p n x n = p i x i n i=1 (Cf exemple)

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