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Philippe Dutarte Groupe dexperts des programmes de mathématiques pour le baccalauréat professionnel Variabilité et hasard, réflexions pour le citoyen et.

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1 Philippe Dutarte Groupe dexperts des programmes de mathématiques pour le baccalauréat professionnel Variabilité et hasard, réflexions pour le citoyen et le professionnel

2 Émile Borel ( ) Vers 1910 : « Si la notion de vérité statistique devenait familière à tous ceux qui parlent ou écrivent au sujet de questions où la vérité statistique est la seule vérité, bien des sophismes et bien des paradoxes seraient évités. »

3 Dans le projet de programme… « La notion de fluctuation d'échantillonnage, essentielle en statistique, est abordée en étudiant la variabilité dobservation dune fréquence. Elle favorise une expérimentation de laléatoire. Lobjectif est de faire comprendre que le « hasard » suit des lois et de préciser lapproche par les fréquences de la notion de chance ou probabilité initiée en classe de troisième. »

4 Des questions… Des naissances… Est-ce le fruit du hasard ? En 2000 à Xicun (Chine)4 filles16 garçons En 2001 à Louvres (Val dOise)70 filles82 garçons Entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag (Canada) 86 filles46 garçons

5 Des questions… Le magazine Le Point du 13/09/2002 écrit : « Une crue de la Seine comparable à celle de 1910 se produit en moyenne tous les cent ans et la probabilité dune telle catastrophe augmente dannée en année ». Que faut-il en penser ? Risqu e ?

6 Des questions… Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémies chez de jeunes garçons en lespace de 10 années. Doit-on en « accuser le hasard » ?

7 Des questions… Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts. Faut-il sinquiéter ?

8 Des questions… Comment aux États-Unis, la statistique a-t-elle permis de mettre en évidence une discrimination conduisant à casser un jugement ?

9 Des questions… Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Peut-on croire un sondage ?

10 Des questions… Comment la loi des grands nombres permet-elle destimer une probabilité ?

11 – Partie 1 – Fluctuations à taille déchantillon fixée : étude de la « variabilité naturelle »

12 Lurne de Bernoulli de nombreuses situations de la vie courante Parmi les expériences aléatoires « réelles » que lon peut mener dès la 3ème, celles de léchantillonnage dans une urne de Bernoulli ont le privilège de pouvoir correspondre à de nombreuses situations de la vie courante.

13 Expérimentation physique images mentales Lexpérimentation physique « valide » les simulations virtuelles mais surtout laissent des « images mentales » essentielles. Dans le projet de programme… « Expérimenter, dabord à laide de pièces, de dés ou durnes, [...] la prise déchantillons aléatoires de taille n fixée, extraits dune population où la fréquence p relative à un caractère est connue. »

14 Expérimentation physique : jouer à pile ou face

15 Expérimentation physique : prise déchantillons avec la boîte à billes

16 Une autre version : la bouteille à perles

17 Dans le projet de programme… « Expérimenter, dabord à laide de pièces, de dés ou durnes, puis à laide dune simulation informatique prête à lemploi, la prise déchantillons aléatoires de taille n fixée, extraits dune population où la fréquence p relative à un caractère est connue. »

18 10 Simulation avec les TICE rand int(rand + 0.3) donne 0 ou 1 dans des proportions 70 % et 30 %. rand (générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1)

19 Avec une calculatrice : tirage aléatoire dune boule dans une urne comportant 30 % de «1» et 70 % de « 0 »

20 Avec un tableur : on entre la formule en cellule A1 puis on recopie vers le bas (pointeur en forme de croix noire), la touche F9 recalcule tout.

21 Des naissances à pile ou face Xicun4 filles16 garçons Louvres70 filles82 garçons Aamjiwnaag86 filles46 garçons

22 Dans un premier temps : brainstorming des élèves XicunLouvresAamjiwnaag Nombre de naissances Pourcentage de garçons 80%53,9%34,8%

23 Du jeu de pile ou face à la simulation naissances pile ou face.xls Énoncé élève 1. Lancer 20 fois une pièce de monnaie et noter le nombre de « pile ». 2. Recommencer lexpérience une dizaine de fois ou regrouper les résultats obtenus dans la classe. 3. Comment peut-on utiliser ces expériences pour commenter les statistiques de Xicun ? 4. Pourquoi lexpérimentation avec des pièces ne permet-elle pas de répondre complètement au problème posé ?

24 Quelles « réponses » ? preuve statistique Ce ne sont que des réponses « statistiques ». Les résultats observés sur les naissances à Xicun et Aamjiwnaag sont « bizarres » (et préoccupants). On a établi une « preuve statistique », rationnelle, quil se passe sans doute quelque chose dinhabituel. Pour le cas de Xicun, la cause probable est lacquisition dans ce village (en 1999) dune machine à ultras-sons bon marché permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Dans le cas dAamjiwnaag, une enquête sanitaire est menée. On connaît en effet, depuis Seveso, le rôle de certains polluants sur les déséquilibres du sex-ratio. (Sources : Science et Vie fév 2006 – Environmenthal Health Perspectives oct 2005.)

25 Le magazine Le Point du 13/09/2002 écrit : « Une crue de la Seine comparable à celle de 1910 se produit en moyenne tous les cent ans et la probabilité dune telle catastrophe augmente dannée en année ». Que faut-il en penser ? Crues centennales

26 « Informer les citoyens sur les risques dinondation par des messages clairs et compréhensibles est un enjeu social et économique fort mais complexe. » Crues centenales.xls

27 Leucémies à Woburn Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémies chez de jeunes garçons en lespace de 10 années. Doit-on en accuser le hasard ?

28 Enfants entre 0 et 14 ans Population de Woburn selon le recencement de 1970 n Nombre de cas de leucémie infantile observés à Woburn entre 1969 et 1979 Fréquence des leucémies à Woburn f Fréquence des leucémies aux États- Unis p Garçons596990,151%0,052% Effectifs garcons Woburn.xls

29 Un peu de « théorie » p n tirages avec remise. X nombre de boules rouges

30 correspondant à la fréquence des boules rouges a pour moyenne et pour écart type X suit la loi binomiale de moyenne E(X) = np et décart type

31 Pour n « assez grand » la loi binomiale est proche dune loi normale et F suit approximativement la loi normale de moyenne p et décart type Pour une loi normale, environ 95 % des observations se font dans un intervalle de rayon 2 écarts types autour de la moyenne.

32 Intervalle de fluctuation de 95 % des observations : [ p – 2 ; p + 2 ] On peut majorer cet intervalle : doù Intervalle de fluctuation de plus de 95 % des observations : [ p – ; p + ]

33 « Déterminer létendue des fréquences de la série déchantillons de taille n obtenus par expérience ou simulation. Rechercher graphiquement un intervalle centré sur p contenant la « grande majorité » des fréquences relative à un caractère, sur des échantillons de taille n. Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à lintervalle. » Dans le projet de programme…

34 En commentaire : « Les situations étudiées correspondent aux cas où les nombres n et p vérifient n 30, np 5 et n(1– p) 5. La connaissance de ces conditions nest pas exigible. La formule de lintervalle est donnée. La connaissance de cette « variabilité naturelle » (environ 95 % des échantillons fournissent une fréquence dans lintervalle ) permet dexercer un regard critique sur les données statistiques. » Dans le projet de programme…

35 Contrôle en cours de fabrication Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts. Faut-il sinquiéter ?

36 carte de controle.xls

37 Jurys et discrimination Comment aux États-Unis, la statistique a- t-elle permis de mettre en évidence une discrimination conduisant à casser un jugement ?

38 Énoncé distribué aux élèves Laffaire Castaneda contre Partida. En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison. 79,1% Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à légard des Américains dorigine mexicaine. Alors que 79,1% de la population du comté était dorigine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués pour être jurés lors des 11 années précédentes, il ny eût que 339 personnes dorigine mexicaine.

39 Produisez votre expertise statistique. En vous situant dans le rôle de cet expert montrer que le hasard ne peut pas « raisonnablement » expliquer à lui seul la sous- représentation des américains dorigine mexicaine Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produisit des arguments pour convaincre du bien fondé de la requête de laccusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, produisez à votre tour des calculs, des raisonnements, des graphiques... pour montrer que le hasard ne peut pas « raisonnablement » expliquer à lui seul la sous- représentation des américains dorigine mexicaine dans les jurys de ce comté. Vous commencez ce travail en binômes en utilisant les documents disponibles, la calculatrice, le tableur. Vous terminez la rédaction (arguments en français, calculs, graphiques...) en devoir individuel, à la maison.

40 Jurys Mexicains 39% Autres 61% Population du comté Mexicains 79% Autres 21%

41 Simulation Plus de 95 % des simulations fournissent une fréquence de personnes dorigine mexicaine comprise dans lintervalle [76 %, 82 %]. Castaneda.xls

42 – Partie 2 – Estimation dune fréquence

43 Situation du problème p = ? échantillon f connu

44 Peut-on croire un sondage ? Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Peut-on croire un sondage ?

45 Premier tour Dernier sondage B.V.A., effectué sur 1000 électeurs le vendredi 19/04/02 Jacques Chirac19 % Lionel Jospin18 % Jean-Marie Le Pen14 % Résultats du premier tour 21/04/02 Jacques Chirac 19,88 % Lionel Jospin 16,18 % Jean-Marie Le Pen 16,86 %

46 Échantillonnage le jour de lélection

47 p Fourchettes de sondage

48 Simulation Election 2002.xls

49 – Partie 3 – Augmentation de la taille de léchantillon : approche dune probabilité inconnue Comment la loi des grands nombres permet-elle destimer une probabilité ?

50 Dans le projet de programme… « Stabilisation relative des fréquences quand la taille n augmente. Notion de probabilité. Cette propriété, de stabilisation vers la probabilité, est mise en évidence graphiquement à laide dun outil de simulation. »

51 Le segment aléatoire Segment aleatoire.xls

52 7 piles consécutifs On lance 7 fois une pièce de monnaie équilibrée, quelle est la probabilité davoir 7 fois pile ? Si lon constate une série de sept points consécutifs du même côté de la moyenne, surveiller le processus Application au contrôle de qualité : Si lon constate une série de sept points consécutifs du même côté de la moyenne, surveiller le processus. 7 piles consecutifs.xls

53 Merci de votre attention !


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