La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Statistique et probabilités. En classe de seconde.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Statistique et probabilités. En classe de seconde."— Transcription de la présentation:

1 Statistique et probabilités

2 En classe de seconde

3 échantillon échantillon : liste de résultats de n expériences identiques et indépendantes. fluctuation déchantillonnage fluctuation déchantillonnage : les distributions des fréquences varient dun échantillon à lautre dune même expérience. Lampleur des fluctuations des distributions de fréquences calculées sur des échantillons de taille n diminue lorsque n augmente. distribution des fréquences distribution des fréquences associée à un échantillon : liste des fréquences des différentes issues de cette expérience.

4 choisir un modèlesimuler ce modèleproduire une liste de résultatséchantillon Simuler une expérience, cest choisir un modèle de cette expérience puis simuler ce modèle, pour produire une liste de résultats assimilable à un échantillon de cette expérience. disposer déchantillons de grande taille La simulation permet de disposer déchantillons de grande taille et dobserver des phénomènes appelant une explication dans le champ des mathématiques. Simulation

5 En 1 ère L : enseignement obligatoire au choix

6 Expérience aléatoire Expérience aléatoire Eventualités Eventualités Evénements Evénements Probabilité dun événement, Probabilité dun événement, de lévénement contraire. de lévénement contraire. P(AB) + P(AB) = P(A) + P(B) Equiprobabilité Equiprobabilité Loi de probabilité Loi de probabilité

7 stabilisation des fréquences lexistence dun modèle probabilisteloi de probabilité La simulation de lexpérience et le phénomène de stabilisation des fréquences observées lorsque le nombre dépreuves augmente, permet de postuler lexistence dun modèle probabiliste, caractérisé par une loi de probabilité.

8 Enoncé vulgarisé de la loi des grands nombres expérience aléatoire loi de probabilité P Pour une expérience aléatoire donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions de fréquences obtenues sur des séries de taille n sont très proches de P quand n est grand.

9 En Terminale L : enseignement de spécialité

10 Probabilités Arbres pondérés Arbres pondérés Conditionnement par un événement de probabilité non nulle Conditionnement par un événement de probabilité non nulle Indépendance de deux événements Indépendance de deux événements Formule des probabilités totales Formule des probabilités totales Epreuve de Bernoulli et loi binomiale Epreuve de Bernoulli et loi binomiale

11 Tableaux et arbres Différentes représentations pour un même ensemble

12 Une enquête de marketing portant sur le choix entre deux abonnements A et B lors de lachat dun téléphone portable et le statut de lacheteur (salarié ou non salarié) a conduit au recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs, consignées dans le tableau suivant:

13 EffectifsAB Salarié Non salarié

14 EffectifsABTotal Salarié Non salarié Total

15 A B NS S S

16 S NS B A B A

17 Chaque représentation (tableau ou arbre) contient toute linformation et permet de reconstituer nimporte laquelle des autres Chaque représentation (tableau ou arbre) contient toute linformation et permet de reconstituer nimporte laquelle des autres

18 Fréquences des événements

19 Fréquences ABTotal Salarié 0,5310,1970,728 Non salarié 0,200,0720,272 Total0,7310,2691 Notations Notations : f (A)= 0,728 f (S) = 0,272 f (A et S) = 0,531 etc……

20 Fréquences conditionnelles ABTotal Salarié0,7270,7330,728 Non salarié0,2730,2670,272 Total111 Notations Notations : f A (S) = 0,727 f A (NS) = 0,273 etc ……

21 Fréquences conditionnelles AB Total Salarié0,7290,2811 Non salarié0,7360,2641 Total0,7310,2691 Notations Notations : f S (A ) = 0,729 f NS (A ) = 0,736 etc ……

22 Comment reconstituer un tableau de fréquences à partir dun autre ?

23 NS A B S S f ( A ) f ( B ) f A ( NS ) fA(S)fA(S)fA(S)fA(S) f B ( NS ) fB(S)fB(S)fB(S)fB(S) f ( A ) f A ( S ) = f ( A S ) f ( A ) f A ( S ) = f ( A S )

24 S NS A f ( S ) f ( NS ) fS(B)fS(B)fS(B)fS(B) fS(A)fS(A)fS(A)fS(A) f NS ( B ) f NS ( A ) A f ( S ) f S ( A ) =f ( A S ) f ( S ) f S ( A ) =f ( A S ) B B

25

26 NS A B S S P(A)P(A)P(A)P(A) P(B)P(B)P(B)P(B) P A (NS) PA(S)PA(S)PA(S)PA(S) P B (NS) PB(S)PB(S)PB(S)PB(S) P (A ) P A (S ) =P (AS ) Arbre pondéré

27 Indépendance de deux événements

28 Dans lexemple étudié, f A (S) = 0,726 f A (S) = 0,726 f (S) = 0,728 f (S) = 0,728 f A (S) f (S) f A (S) f (S) Existence dun lien de causalité ?

29 Dans une urne il y a des pièces indiscernables au toucher, de 1 ou 2 euros (E 1 ou E 2 ), 30 sont françaises, 70 non françaises (F ou NF). Il y a 60 pièces de 1 euro, dont k sont françaises, et 40 pièces de 2 euros, dont 30 – k sont françaises. Est-il possible que le fait de savoir que la pièce extraite est une pièce de 1 euro, ne modifie pas la probabilité que la pièce extraite soit française ? On choisit une pièce au hasard.

30 E1E1 E2E2 Total Fk30 k30 NF60 k10 + k70 Total

31 NF E1E1 E2E2 F 0,6 0,4 F

32 Lorsque k = 18, savoir quil sagit dune pièce de 1 euro ne modifie pas la probabilité quelle soit française.

33 Evénements indépendants

34 La notion dindépendance entre deux événements est une propriété numérique à lintérieur du modèle probabiliste.

35 Dans lexemple précédent, supposons que le nombre total de pièces soit K. n 1 : nombre de pièces de 1 euro, n F : nombre de pièces françaises n F,1 : nombre de pièces françaises de 1 euro

36 Lorsque K est un nombre premier, (par exemple K = 101 au lieu de K = 100) si K n F,1 = n F n 1, alors soit n F = K (toutes les pièces sont françaises) soit n 1 = K (toutes les pièces sont de 1 euro)

37 Si n F = K E1E1 E2E2 Total F n F,1 K n F,1 K NF 000 Total n F,1 K n F,1 K

38 Si n 1 = K E1E1 E2E2 Total F n F,1 0 NF K n F,1 0 TotalK 0 K

39 Statistique Adéquation dune série de données à une loi équirépartie

40 En 1 ère L Léquiprobabilité : une hypothèse parmi dautres pour proposer un modèle Modèles issus dune observation expérimentale

41 Objectif: sensibiliser les élèves au problème de la validation dun modèle

42 Exemple : lancé dun dé à 6 faces. Les résultats obtenus dans des conditions normales dutilisation de ce dé sont-ils compatibles avec le modèle déquiprobabilité sur lensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

43 On dispose dun échantillon de taille n de cette épreuve aléatoire. Cet échantillon peut-il être considéré comme un échantillon de taille nde la loi équirépartie sur lensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} ? Cet échantillon peut-il être considéré comme un échantillon de taille n de la loi équirépartie sur lensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} ? On lance n fois de suite ce dé.

44 Critère de compatibilité entre une distribution de fréquences et la loi équirépartie. Distance entre une distribution de fréquences {f 1, f 2,.., f 6 } et la loi équirépartie sur {1, 2,.., 6} Les données seront considérées comme incompatibles avec la loi équirépartie si d obs 2 est supérieur à une valeur seuil à définir.

45 d 2 est soumise à la fluctuation déchantillonnage On simule N échantillons de n tirages équiprobables dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Série de N valeurs de d 2 dans le modèle équiréparti.

46 Le 9 ème décile de cette série, noté D 9 : la plus petite valeur de la série telle que au moins 90% des valeurs soient dans lintervalle [0; D 9 ] Prendre D 9 comme seuil de compatibilité cest adopter la règle de décision : si d obs 2 > D 9 : refuser lhypothèse déquiprobabilité si d obs 2 D 9 : ne pas refuser lhypothèse déquiprobabilité

47 En fait, la seule décision quon puisse prendre cest de refuser lhypothèse déquiprobabilité. Ne pas la refuser ne revient pas à la valider. Le risque derreur vient de ce que d obs 2 peut être supérieur à D 9 même si le dé est équilibré. (fluctuation déchantillonnage)

48 Les données simulées qui aboutissent à ce seuil de décision indiquent que cette situation se produit dans 10% des échantillons dune loi équirépartie. la marge derreur est 10%.

49 Prendre le 99 ème centile comme seuil décisionnel conduit au risque derreur de 1%. Prendre le 19 ème vingtile, noté V 19 (la plus petite valeur de la série telle que au moins 95% des valeurs soient dans lintervalle [0; V 19 ]) comme seuil décisionnel conduit au risque derreur de 5%. Abaisser le seuil de risque revient à relever le seuil entre petites et grandes valeurs de d². On peut être amené à refuser lhypothèse déquiprobabilité au seuil de 10% et à ne pas la refuser au seuil de 5% ou de 1%.

50 ,2150,1550,2070,1150,170,13 Expérience

51 D9D9 V 19

52 Dans ce cas, au vu des résultats expérimentaux, et en appliquant la règle décisionnelle choisie : au seuil de risque de 10%, lhypothèse déquiprobabilité doit être refusée; au seuil de risque de 5%, on peut la maintenir. Elle nest pas, pour autant, validée.

53 Formule des probabilités totales

54 f ( A ) = x f ( A et S ) = y f ( B ) = 1- x f ( B et S ) = 0,728 - y Fréquences conditionnelles ABTotal Salarié0,7270,7330,728 Non salarié0,2730,2670,272 Total111 y=x0,727 0,728 – y = (1-x)0,733 et


Télécharger ppt "Statistique et probabilités. En classe de seconde."

Présentations similaires


Annonces Google