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François Longin 1 www.longin.frwww.longin.fr Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf.

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1 François Longin 1 Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf

2 François Longin 2 Plan Notions de rentabilité Définition Modélisation Eléments de théorie du portefeuille Portefeuille Diversification Le Medaf Le modèle de marché La relation du Medaf Le bêta Application : calcul du taux dactualisation

3 François Longin 3 Rentabilité dun actif (1) Définition de la rentabilité Notations : Calcul Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux dinvestissement.

4 François Longin 4 Rentabilité dun actif (2) Deux éléments dans la rentabilité Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc. La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus-value ou moins-value à la revente

5 François Longin 5 Rentabilité dun actif (3) Statistiques importantes (1) La moyenne des rentabilités Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur Mesure de performance La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) La variance ou lécart-type des rentabilités Mesure sur risque (mesure globale)

6 François Longin 6 Rentabilité dun actif (4) Statistiques importantes (2) Les quantiles de rentabilités Probabilité dobserver une rentabilité en dessous dun seuil donné Mesure du risque (mesure locale)

7 François Longin 7 Rentabilité dun actif (5) Distribution historique des rentabilités – Histogramme Distribution paramétrique des rentabilités - Densité Exemple : la loi normale Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)

8 François Longin 8 Modèle de Markowitz Quest-ce que cest ? Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur loptimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque Portefeuilles optimaux Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné

9 François Longin 9 Diversification du risque (1) Cas : portefeuille à deux actifs Actif 1: µ 1 = 10% et σ 1 = 20% Actif 2 : µ 2 = 15% et σ 2 = 30% Portefeuille : combinaison dactifs x 1 et x 2 : poids de chaque actif dans le portefeuille Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rentabilité donné

10 François Longin 10 Diversification du risque (2) Portefeuille efficient Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque. Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. Portefeuille optimal au sens moyenne-variance Frontière efficiente Ensemble des portefeuilles efficients Exercice : utiliser loutil de modélisation sur

11 François Longin 11 Diversification du risque (3) Cas : n actifs risqués Caractérisation de la frontière efficiente Le portefeuille retenu par linvestisseur dépend de son aversion au risque. Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Caractérisation de la frontière efficiente Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de lactif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché). Le portefeuille retenu par linvestisseur dépend de son aversion au risque. Exercice : utiliser loutil de modélisation sur

12 François Longin 12 Diversification du risque (4) Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Actif sans risque : µ 0 = 5% et σ 0 = 0% Portefeuille de marché M : µ M = 10% et σ M = 25% Portefeuille efficient P : µ P et σ P Combinaison linéaire de lactif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1-x) : µ P = x · µ 0 +(1-x) · µ M et σ P = (1-x) · σ M En remplaçant x par sa valeur il vient : Il sagit de léquation de la frontière efficiente. Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée.

13 François Longin 13 Risque dun actif Quel est le risque associé à un actif ? Portefeuille existant : µ P et σ P Projet ou actif risqué : µ i et σ i Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau du taux dactualisation ? Risque total de lactif ? σ i Contribution de lactif au risque du portefeuille ?

14 François Longin 14 Le modèle de marché (1) Sources de risque Le risque sur chaque actif a deux origines : Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à lactif (action, obligation, projet, etc.) Modélisation Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur Par définition, lerreur (le résidu) correspond à lécart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation. Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).

15 François Longin 15 Le modèle de marché (2) Modélisation (suite) Notations

16 François Longin 16 Le modèle de marché (3) Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres Composition du portefeuille : x 1, x 2, x 3, … x n Modélisation du portefeuille P Notation

17 François Longin 17 Le modèle de marché (4) Diversification des n risques spécifiques Les aléas S 1, S 2, S 3, …, S n sont des variables aléatoires centrées et indépendantes. Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids x i sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. Application de la loi des grands nombres Approximation pour la rentabilité dun portefeuille diversifié

18 François Longin 18 Le modèle de marché (5) Analyse du risque dun portefeuille diversifié Interprétation : Approximation pour le risque dun portefeuille diversifié

19 François Longin 19 Le modèle de marché (6) Contribution dun actif i au risque du portefeuille P Décomposition du risque de lactif i Le risque spécifique de lactif i napparaît pas dans le risque dun portefeuille diversifié. Seul le bêta de lactif i apparaît dans le risque dun portefeuille diversifié. La contribution dun actif i au risque du portefeuille P est mesurée par le bêta.

20 François Longin 20 Le modèle de marché (7) Détermination de la prime de risque de lactif i Décomposition de la prime de risque sur lactif i La prime de risque p i doit être proportionnelle au bêta de lactif i qui est le seul risque non diversifiable. Démonstration :

21 François Longin 21 Le Medaf (1) Terminologie Medaf : modèle dévaluation des actifs financiers CAPM : capital asset pricing model Rentabilité anticipée de lactif i Relation du Medaf ou CAPM La rentabilité anticipée dun actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de lactif fois la prime de risque du marché.

22 François Longin 22 Le Medaf (2) Trois éléments à estimer Le taux sans risque La prime de risque du marché Le bêta de lactif Utilité du Medaf Gestion dactifs Construction de portefeuilles efficients Décisions dinvestissement Calcul du coût du capital

23 François Longin 23 Calcul du coût du capital en pratique Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.

24 François Longin 24 Le beta (1) Définition Interprétation Le beta mesure lélasticité de lactif par rapport au portefeuille de marché. Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché. Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que le marché. Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les variations du marché. Le beta est donc aussi une mesure du risque dun actif.

25 François Longin 25 Le bêta (2) Estimation du beta Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M Le bêta : Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative) Pente de la droite de la régression

26 François Longin 26 Limites du Medaf Quest-ce que le portefeuille de marché ? En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets dart, capital humain, etc. Difficulté dobserver le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité Quest-ce quun actif ? Historique de rentabilités pour un actif de marché Quid dun nouveau projet dentreprise ? Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta

27 François Longin 27 Application à linvestissement Le taux dactualisation doit tenir compte du risque. Prime de risque La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi du portefeuille existant. Recherche dactifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le portefeuille existant Super diversificateurs


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