La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à lutilité

Présentations similaires


Présentation au sujet: "GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à lutilité"— Transcription de la présentation:

1 GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à lutilité

2 Plan du chapitre 1. Choix en avenir incertain et fonctions dutilité 2. Rappel sur la notion daversion au risque 3. critère espérance-variance

3 1.Choix en avenir incertain et fonction dutilité 1.1 Choix en avenir incertain Décision à prendre sans en connaître les conséquences de manière certaine exemple: choix de la composition dun portefeuille face à des rendements des titres aléatoires. Rationalisation des choix: introduction dune axiomatique ( les axiomes caractérisent la rationalité du décideur) Exemple axiome de transitivité: si un choix b est préféré à a et c est préféré à b, c est encore préféré à a Exemple: axiomatique de Von Neuman Morgenstern (VNM). Dans ce qui suit, on introduira la fonction dutilité des conséquences ( quantifiées). On montre que loptimisation des choix selon la rationalité décrite par laxiomatique de VNM, est équivalente à la maximisation de lespérance dutilité, sous réserve que la fonction dutilité possède de bonnes propriétés: elle doit être croissante et concave

4 1.2 Fonction dutilité Plutôt que de considérer directement lévaluation monétaire des conséquences dun choix, on considère lutilité de cette valeur monétaire On montre que la rationalité dun agent qui obéit à laxiomatique de VNM peut être résumée par la donnée dune fonction dutilité, croissante et concave: u –Croissante: on préfère des conséquences monétaires plus élevées ( valeur du rendement de linvestissement plus élevée) –Concavité: la dérivée seconde est négative: lorsque les conséquences monétaires sont élevées, lutilité croit moins vite que dans la zone des conséquences monétaires plus faibles (Voir augmentation marginale de la richesse, lorsquon est très riche) Plus précisément, le choix, en avenir incertain, de laction ( par exemple la composition dun portefeuille) est dicté par la recherche de la maximisation de lespérance dutilité des conséquences monétaires

5 1.3 Exemples de fonctions dutilité Fonction CARA : constant absolute risk aversion Or: k doit être négatif pour que la fonction dutilité soit croissante; la fonction dutilité CARA a pour expression: CRRA: constant relative risk aversion

6 2. Aversion pour le risque 2.1) Monde risque-neutre Si on est indifférent à lincertitude – aux issues possibles- on est indifférent au risque: on dit « neutre au risque » Dans un monde où tous les agents sont neutres, au risque ( on parle de monde risque –neutre), tous les titres, quils soient risqués ou non, doivent avoir la même rentabilité espérée que le titre sans risque ( supposé exister): le risque nest pas valorisé, il ny a pas de prime de risque

7 2.2 Aversion au risque et prime de risque Dans la réalité, les agents ne sont pas indifférents au risque. Selon leur aversion au risque, ils investissent dans des titres plus ou moins risqués et acceptent le risque de leur investissement, parce quils sont rémunérés pour leur prise de risque: les échanges sur le marché font que les titres risqués ont un rendement espéré plus élevé que celui du titre sans risque On définit la prime de risque du titre risqué i ( une action) par rapport au titre sans risque F (livret A) selon: et on attend que cette prime de risque soit positive: démontrons-le

8 On peut assimiler un titre risqué à une loterie : son rendement est aléatoire Un agent qui a une utilité U valorise la loterie selon lespérance de lutilité du rendement(axiomatique des choix) Par exemple, un titre risqué qui a un rendement R F +5% avec un probabilité p et R F -5% avec une probabilité 1-p (où R F désigne le rendement du titre sans risque) est une loterie qui est « valorisée » par lagent qui a une fonction dutilité U, selon: pU(R F +5%)+(1-p)U(R F -5%) On introduit la notion déquivalent certain de la loterie: cest la valeur certaine dont lutilité est égale à lespérance dutilité de la loterie. Ici léquivalent certain du titre est le rendement certain Rc tel que: U(Rc)=pU(R F +5%)+(1-p)U(R F -5%)

9 On se pose alors la question suivante: à quelle condition un agent de fonction dutilité U préfère-t-il investir dans un titre risqué de rendement (aléatoire) R plutôt quinvestir dans le titre sans risque de rendement R F? On doit avoir: car R F nest pas aléatoire Or U est concave et on sait que pour toute fonction concave U et toute variable aléatoire X, on a: Par conséquent, le rendement R doit être tel que: Or la fonction dutilité U est croissante, par conséquent, on doit avoir: lagent exige donc bien une prime de risque E(R)-R F >0 pour décider dinvestir dans le titre risqué.

10 3. Trade-off entre espérance de rentabilité et risque(variance) Soit une variable aléatoire Z correspondant au rendement dun titre On considère la fonction dutilité CARA U(z)= -exp(-Az)avec A>0 On suppose que la variable Z est distribuée comme une loi normale ( de moyenne E(Z) et de variance Var(Z)).

11 Lespérance de lutilité est donnée par: Car la dernière intégrale du développement précédent est égale à 1 puisque cest lintégrale sur R de la densité dune loi normale: - de moyenne - et de variance

12 Et léquivalent certain a pour expression: Les préférences font donc intervenir à la fois lespérance et le risque du titre (critère espérance- variance qui est central dans les choix de portefeuille)


Télécharger ppt "GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à lutilité"

Présentations similaires


Annonces Google