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Nombres entiers, initiation à larithmétique- Nombres rationnels CHAPITRE 2.

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1 Nombres entiers, initiation à larithmétique- Nombres rationnels CHAPITRE 2

2 Nombres entiers, initiation à larithmétique, nombres rationnels. Lensemble N des entiers positifs Lensemble N des entiers positifs Lanneau Z des entiers relatifs Lanneau Z des entiers relatifs Nombres rationnels Nombres rationnels

3 Lensemble N des entiers positifs

4 Les axiomes de N (G. Peano) 1. N contient au moins un élément (noté « 0 ») 1. N contient au moins un élément (noté « 0 ») 2. Tout élément n de N admet un successeur S(n) 2. Tout élément n de N admet un successeur S(n) 3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont égaux 3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont égaux 4. « 0 » nest successeur daucun élément 4. « 0 » nest successeur daucun élément 5. Le seul sous-ensemble de N contenant à la fois 0 et les successeurs de tous ses éléments est N tout entier (principe de récurrence) 5. Le seul sous-ensemble de N contenant à la fois 0 et les successeurs de tous ses éléments est N tout entier (principe de récurrence) G. PEANO ( )

5 Deux opérations sur N Deux opérations sur N somme = a somme = a répéter b fois répéter b fois somme = S (somme) somme = S (somme) produit = 0 produit = 0 répéter a fois répéter a fois produit = produit + b produit = produit + b a + b a + b a x b a x b

6 Un ordre total sur N Un ordre total sur N a « est plus petit que b » a « est plus petit que b » Il existe un élément x de N tel que b = a + x Cet ordre est compatible avec addition et multiplication a b b a b b

7 Trois propriétés « clef » de N (équivalentes aux axiomes de Peano) 1. Toute partie A non vide possède un plus petit élément (borne inférieure) 1. Toute partie A non vide possède un plus petit élément (borne inférieure) 2. Toute partie A non vide et majorée admet un plus grand élément (borne supérieure) 2. Toute partie A non vide et majorée admet un plus grand élément (borne supérieure) 3. Lensemble N tout entier na pas de majorant 3. Lensemble N tout entier na pas de majorant (1) Cet ordre est total (on peut toujours comparer deux éléments)

8 Les deux principes de récurrence Données : une assertion R {n} où figure le caractère « n » et un nombre entier n 0 fixé PRINCIPE 1 PRINCIPE 2 Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano Lassertion : est une évidence dans laxiomatique de Peano ( R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0, R {n} R {n+1} ] ) ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} ) R {n 0 } et [ pour tout n plus grand que n 0,[ R {k} OK pour k=n 0,…,n] R{n+1} ] ] ( pour tout n plus grand que n 0, R {n} )

9 Les nombres premiers : illustration de deux modèles de raisonnement Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier (preuve par récurrence) Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier (preuve par récurrence) Il y a une infinité de nombres premiers (preuve par labsurde) Il y a une infinité de nombres premiers (preuve par labsurde)

10 Le théorème dEuclide Le théorème dEuclide Soient a et b deux entiers positifs avec b non nul. Soient a et b deux entiers positifs avec b non nul. Il existe un UNIQUE couple dentiers (q,r) tels que : a = b q + r a = b q + r et r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus) Définition : le nombre r est dit RESTE dans la division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a par b.

11 Quelques applications du théorème dEuclide Quelques applications du théorème dEuclide La recherche du PGCD La recherche du PGCD Le développement en base b Le développement en base b Deux « programmes » basés sur lalgorithme dEuclide fonction PGCD = PGCD (a,b) fonction X= newbase (a,b)

12 fonction PGCD=PGCD (a,b) Lalgorithme dEuclide x=a ; y=b ; tant que y>0 [q,r] = div(x,y); si r==0 PGCD = y; y = 0 ; sinon [q1,r1] = div(y,r); x = r; PGCD = x ; y=r1 ; fin Al-Khwarizmi (780 – Bagdad 850) a = b q 0 + r 0 PGCD (a,b) = PGCD (b,r 0 ) b = r 0 q 1 + r 1 PGCD (b,r 0 ) = PGCD (r 0,r 1 ) r 0 = r 1 q 2 + r 2 PGCD (r 0,r 1 ) = PGCD (r 1,r 2 ) ….. ……. ……. …… ……. …….. r N-2 = q N r N-1 + r N PGCD (r N-2,r N-1 ) = PGCD(r N-1,r N ) r N-1 = q N+1 r N + 0 PGCD (r N-1,r N ) = r N

13 fonction X=newbase (a,b) Comment écrire a «en base b » ? X=[ ] ; x=a ; tant que x > 0 [q,r]= div (x,b); x=q; X=[r, X] ; fin ; a = b q + d 0 = b (b q 1 + d 1 ) + d 0 = b (b (b q 2 + d 2 ) + d 1 ) + d 0 = d 0 + d 1 b + … + d N-1 b N-1 a : [ d N-1 d N-2 … d 2 d 1 d 0 ]

14 Lanneau Z des entiers relatifs Lanneau Z des entiers relatifs Construction de lanneau ordonné (Z,+,x) Construction de lanneau ordonné (Z,+,x) Un exemple de calcul algébrique : lidentité de Bézout Un exemple de calcul algébrique : lidentité de Bézout François Viète 1540 – 1603 Etienne Bézout 1730 – 1783

15 La construction de Z à partir de lensemble N x N des couples dentiers positifs ou nuls : [(a,b)] = { (p,q) ; a + q = b + p } Si b > a, la classe [(a,b)] est notée Si b > a, la classe [(a,b)] est notée b-a b-a Si a > b, la classe [(a,b)] est notée - (a-b) - (a-b) Si a = b, la classe [(a,a)] est notée 0 0 GAIN PERTE

16 N sous-ensemble de Z N sous-ensemble de Z Z [(a,b)], b>a ou a=b N [(a,b)], b>a ou a=b N [(a,b)], b

17 Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à b Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à b Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à –b si et seulement si b est inférieur ou égal à a. Si a et b sont des éléments de N, -a est inférieur ou égal à –b si et seulement si b est inférieur ou égal à a. … et un ordre total prolongeant lordre sur N en incorporant les deux règles additionnelles suivantes : Lordre est compatible aux deux opérations

18 Commutativité Commutativité x + y=y + x x + y=y + x Associativité Associativité x + (y + z)= (x + y) + z x + (y + z)= (x + y) + z Elément neutre 0 Elément neutre 0 x + 0 = 0 + x = x x + 0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x + (-x) = (-x) + x = 0 x + (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x ( y x z )= ( x x y ) x z x x ( y x z )= ( x x y ) x z Elément unité 1=[(0,1)] Elément unité 1=[(0,1)] x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y+z) = (x x y) + (x x z) (Z,+,x) anneau commutatif unitaire (Z,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

19 Propriétés de Z liées à lordre Toute partie non vide et minorée admet en son sein un plus petit élément (borne inférieure) Toute partie non vide et majorée admet en son sein un plus grand élément (borne supérieure)

20 Un exemple de calcul algébrique dans Z : lidentité de Bézout

21 La division dans Z La division dans Z Soient A et B deux entiers relatifs : On dit que B divise A sil existe un entier relatif q tel que A=Bq. PGCD (A,B) := PGCD (|A|,|B|) PGCD (A,B) := PGCD (|A|,|B|) (si A,B non tous les deux nuls) (si A,B non tous les deux nuls)

22 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d leur PGCD Il existe au moins un couple dentiers (u 0,v 0 ) dans Z 2 tel que : a u 0 + b v 0 = d (*) a u 0 + b v 0 = d (*) Le théorème de Bézout Le théorème de Bézout 1. Clause dexistence 1. Clause dexistence

23 Une démarche algorithmique récursive fonction [PGCD,u,v] = bezout (a,b) a = b q 0 + r 0 b = r 0 q 1 + r 1 r 0 = r 1 q 2 + r 2 ….. ……. ……. r N-3 = q N-1 r N-2 + r N-1 r N-2 = q N r N-1 + d r N-1 = q N+1 d + 0 PGCD (r N-1,r N ) = d d = r N-2 – q N r N-1 = r N-2 – q N ( r N-3 – q N-1 r N-2 ) = … = u a + v b x = a ; y = abs(b) ; [q,r] = div (x,y) ; si r == 0 PGCD = y ; u=0 ; v=1 ; sinon [d, u 1,v 1 ] = bezout (y,r) ; PGCD = d ; u = v 1 ; v = signe (b) * (u 1 - q * v 1 ) ; fin

24 On suppose a et b non nuls, de PGCD égal à d, avec a = d a, b = d b et PGCD(a,b)=1 PGCD(a,b)=1 Les solutions (u,v) dans Z 2 de léquation a u + b v = d (*) a u + b v = d (*) Le théorème de Bézout 2. Clause dunicité 2. Clause dunicité sont exactement les couples de la forme (u 0 + b k, v 0 – a k) (u 0 + b k, v 0 – a k) où k désigne un entier arbitraire et (u 0,v 0 ) une solution particulière de (*)

25 Soient a et b deux entiers relatifs non nuls On suppose PGCD (a,b) =1 Alors, si c est un nombre entier relatif tel que b divise ac, nécessairement b divise c. Le lemme de Gauss Le lemme de Gauss Carl F. Gauss ( )

26 Le théorème dEuclide (élargi à Z) Le théorème dEuclide (élargi à Z) Soient a un entier relatif et b un entier positif non nul. Soient a un entier relatif et b un entier positif non nul. Il existe un UNIQUE couple dentiers (q,r) tels que : a = b q + r a = b q + r et r est entre 0 (inclus) et b-1 (inclus) Définition : le nombre r est dit RESTE dans la division EUCLIDIENNE de a par b. Le nombre q est dit QUOTIENT dans la division EUCLIDIENNE de a par b.

27 Nombres rationnels Fractions et développements décimaux périodiques : deux approches des rationnels

28 Fractions : la construction de Q à partir de lensemble Z x N* [[(a,b)]] = { (p,q) dans Z x N* ; a q = p b } La classe [[(a,b)]] est notée a/b a/b Numérateur Dénominateur le point de vue « abstrait »

29 Z sous-ensemble de Q Z sous-ensemble de Q [[(a 1,b 1 )]] +[[(a 2,b 2 )]] := [[(a 1 b 2 +a 2 b 1, b 1 b 2 )]] [[(a 1,b 1 )]] x [[(a 2,b 2 )]] := [[(a 1 a 2, b 1 b 2 )]] Deux opérations … Z= { [[(a,b)]] ; a multiple de b } Q\ Z = { [[(a,b)]] ; a non multiple de b }

30 Commutativité Commutativité x+y=y+x x+y=y+x Associativité Associativité x+(y+z)= (x+y) +z x+(y+z)= (x+y) +z Elément neutre 0 : Elément neutre 0 : x+0 = 0 + x = x x+0 = 0 + x = x Tout élément x admet un « opposé » -x Tout élément x admet un « opposé » -x x+ (-x) = (-x) + x = 0 x+ (-x) = (-x) + x = 0 Commutativité Commutativité x x y=y x x x x y=y x x Associativité Associativité x x (y x z)= (x x y ) x z x x (y x z)= (x x y ) x z Elément unité 1 = [[(1,1)]]: Elément unité 1 = [[(1,1)]]: x x 1 = 1 x x = x x x 1 = 1 x x = x Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : [[(a,b)]] x [[(b,a)]] = 1 [[(a,b)]] x [[(b,a)]] = 1 Addition Multiplication Distributivité mult/addition x x (y + z) = (x x y) + (x x z) (Q,+, x) corps commutatif (Q,+) groupe abélien Propriétés des opérations x +

31 Fractions : développements décimaux le point de vue « concret » (hérité de lenseignement primaire)

32 Rationalité développement décimal périodique périodique , Lun des restes possibles !

33 ___ ___ x = 12, ___ ___ 1000 x – = 0, 572 ___ ___ 1000 (1000 x – 12431)= 572, (1000 x ) – 572 = 1000 x x = (999 x )/ x = (999 x )/ Développement décimal périodique rationalité rationalité

34 Fractions : écriture décimale et décimaux x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. x = m + 0, d 1 d 2 d 3 d 4 … d p ….. Partie entière décimales _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … d N 0 _ m + O, d 1 d 2 d 3 d 4 … (d N -1) 9 = nombres décimaux

35 Un « manque » à Q : un ensemble majoré na pas nécessairement de plus petit majorant dans Q ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Exemple : lensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur ou égal à 2 ! Il faut en connaître une (ou plusieurs) preuves !!

36 Fin du chapitre 2


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