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Algorithme des différences PGCD Algorithme d'Euclide Nombres premiers entre eux Fraction irréductible PGCD de 192 et 120PGCD de 210 et 126 PGCD de 12 et.

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1 Algorithme des différences PGCD Algorithme d'Euclide Nombres premiers entre eux Fraction irréductible PGCD de 192 et 120PGCD de 210 et 126 PGCD de 12 et 18PGCD de 20 et 35 Division euclidienne

2 Est-ce que 2 est un diviseur de 18 ? Que signifie "2 est un diviseur de 18" ? Cela veut dire que si on divise 18 par 2, le quotientest entier et le resteest zéro. Oui On dit aussi : 18 est un multiple de 2

3 Définition a et d désignent deux entiers tels que d 0. On dit que d est un diviseur de a si le reste de la division est égal à 0. euclidienne de a par d

4 Dans le cas de la division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.

5 12 et 18

6 Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ;3 ;4 ;6 ;12 Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ;3 ;6 ;9 ;18 Diviseurs communs à 12 et 18 : 1 ; 2 ;3 ;6 Quel est le plus grand ? 6 On écrit PGCD (12 ; 18) = 6

7 On écrit PGCD (12 ; 18) = 6 Que signifie PGCD (12 ; 18) ? Plus GrandCommunDiviseur

8 Parmi les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b, lun deux est plus grand que les autres : on lappelle le Plus Grand Commun Diviseur à a et bet on le notePGCD (a ; b).

9 Chercher PGCD (20 ; 35) Diviseurs de 20 : 1 ; 2 ;4 ;5 ;10 ; 20 Diviseurs de 35 : 1 ; 5 ;7 ;35 Diviseurs communs à 20 et 35 : 1 ; 5 PGCD (20 ; 35) = 5

10 Chercher le PGCD va être parfois un peu long en écrivant tous les diviseurs, mais il existe des méthodes plus rapides. On appelle ces méthodes des algorithmes. Un algorithme est une méthode de calcul où on répète le même procédé jusqu'au résultat trouvé.

11 Recherche du PGCD par la méthode des soustractions successives ou algorithme des différences

12 Propriété admise : Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b) Le plus petitLa différence

13 On soustrait les deux nombres donnés : Chercher le PGCD de 36 et – 24 = Plus grand a Plus petit b a - b PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b) Le plus petitLa différence

14 On garde les deux plus petits 24 et 12 et on recommence ; Recherche du PGCD de 36 et Plus grand a Plus petit b a - b

15 36 Plus grand a Plus petit b a - b On sarrête lorsque la différence est nulle. Recherche du PGCD de 36 et 24

16 36 Plus grand a Plus petit b a - b Donc PGCD (36 ; 24) = Recherche du PGCD de 36 et 24

17 PropriétéLe Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est 36 Plus grand a Plus petit b a - b Recherche du PGCD de 36 et 24 la dernière différence non nulle dans la succession des soustractions.

18 Recherche du PGCD de 210 et 126 Donc PGCD (210 ; 126) = Plus grand a Plus petit b a - b

19 Recherche du PGCD de 192 et 120 Donc PGCD (192 ; 120) = Plus grand a Plus petit b a - b

20 Au lieu de faire les calculs à la main, on peut utiliser un logiciel. C'est untableur. Nous allons calculer PGCD (45;18) avec un tableur

21 Recherche du PGCD par la méthode des divisions successives ou algorithme dEuclide Euclide d'Alexandrie vers 325 av JC - vers 265 av JC

22 Propriété admise : Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; r) Le plus petit Reste de la division euclidienne de a par b b q a r

23 Recherche du PGCD de 18 et 4 18 Plus grand a Plus petit b Reste Par divisions successives On divise le plus grand nombre 18 par le plus petit 4 ;

24 Recherche du PGCD de 18 et 4 18 Plus grand a Plus petit b Reste Par divisions successives On garde le plus petit 4 et le reste 2 de la division et on recommence ; On sarrête lorsque le reste est nul.

25 Recherche du PGCD de 18 et 4 18 Plus grand a Plus petit b Reste Par divisions successives Donc PGCD (18 ; 4) = 2

26 PropriétéLe Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est Recherche du PGCD de 18 et 4 18 Plus grand a Plus petit b Reste Par divisions successives le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.

27 Recherche du PGCD de 88 et 14 Donc PGCD (88 ; 14) = 2 88 Plus grand a Plus petit b Reste

28 Fraction irréductible

29 Plus Grand Commun Diviseur à Rendre irréductible la fraction On dit quune fraction est irréductible lorsque On peut procéder par tâtonnement, mais il y a plus simple : trouver le on ne peut plus la simplifier. 132 et 77.

30 Recherche du PGCD de 132 et 77 Méthode des divisions successives ou algorithme dEuclide Méthode des soustractions successives ou algorithme des différences

31 Recherche du PGCD de 132 et 77 Donc PGCD (132 ; 77) = Plus grand a Plus petit b a - b

32 Recherche du PGCD de 132 et Plus grand a Plus petit b Reste Donc PGCD (132 ; 77) =

33 Rendre irréductible la fraction PGCD (132 ; 77) = 11 On simplifie par = =

34 PropriétéLorsque lon simplifie une fraction par le Plus Grand Commun Diviseur à son numérateur a et son dénominateur b la fraction obtenue est irréductible.

35 Nombres premiers entre eux

36 Définition: On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur Plus Grand Commun Diviseur est égal à 1 ; cest à dire PGCD (a ; b) = 1 Cherchez deux nombres simples premiers entre eux

37 Définition: On dit quune fraction est irréductible lorsque son numérateur a et son dénominateur b sont premiers entre eux.

38 Fin

39 Alexandrie


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