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Exemple 2 Exemple 2 PGCD(210;126) Exercice 1 Exercice 1 PGCD(1085;837) Exercice 2 Exercice 2 Les billes Exercice 3 Exercice 3 Le patchwork Exercice 4 Exercice.

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1 Exemple 2 Exemple 2 PGCD(210;126) Exercice 1 Exercice 1 PGCD(1085;837) Exercice 2 Exercice 2 Les billes Exercice 3 Exercice 3 Le patchwork Exercice 4 Exercice 4 Nombres premiers entre eux Exercice 5 Exercice 5 Vrai ou Faux ? Exercice 6 Exercice 6 La collection Exercice 7 Exercice 7 Le coffret de CD Exercice 8 Exercice 8 Les palindromes

2 Donc PGCD (210 ; 126) = Plus grand a Plus petit b a - b Exercice Déterminer le PGCD de 210 et 126 avec lalgorithme des différences.

3 Exercice 1 Déterminer le PGCD de 1085 et 837 par la méthode de votre choix. - Algorithme des différences - Algorithme dEuclide

4 1085 Plus grand a Plus petit b a - b Donc PGCD (1085 ; 837)=

5 1085 Plus grand a Plus petit b Reste Donc PGCD (1085 ; 837) = PGCD de 1085 et

6 Exercice 2 Exercice 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets tels que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ; tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

7 tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, 108 billes rouges et 135 billes noires. Le nombre de paquets doit être un diviseur de 108. toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Il faut que :

8 108 billes rouges et 135 billes noires. tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, Le nombre de paquets doit être un diviseur de 135. toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. Il faut que :

9 108 billes rouges et 135 billes noires. Le nombre de paquets doit être un diviseur commun 135. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ? Il faut que à 108 et le diviseur commun à 108 et 135soitle plus grand possible : cest PGCD (108 ; 135)

10 Déterminons le PGCD(108 ; 135) avec lalgorithme des différences : 135 Plus grand a Plus petit b a - b Donc PGCD (108 ; 135) = Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets.

11 Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? 108 billes rouges et 135 billes noires. Nombre de billes rouges par paquet : = 4 Nombre de billes noires par paquet : = 5

12 Exercice 3 Exercice 3 Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents. Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm. 1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche.

13 Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques, mais de motifs différents. Les dimensions de la couverture doivent être 210 cm sur 135 cm. 2. Combien de carrés devra-t- elle utiliser ?

14 1. Sachant que le côté des carrés doit être le plus grand possible, combien doit il mesurer ? Expliquer votre démarche. 210 cm 135 cm

15 Pour que les carrés soient tous entiers, il faut que le côté soit un diviseur de la longueur 210 cm et de la largeur 135 cm. 210 cm 135 cm

16 210 cm 135 cm De plus, il faut que le côté des carrés soit le plus grand possible. On cherche donc le plus grand diviseur commun de 210 et 135.

17 Donc PGCD (210 ; 135) = Plus grand a Plus petit b Reste Déterminons le PGCD de 210 et 135 avec lalgorithme dEuclide. La dimension de chaque carré devra être 15 cm.

18 2. Combien de carrés devra-t- elle utiliser ? = 14 Il y aura 14 carrés sur la longueur = 9 Il y aura 9 carrés sur la largeur. 14 × 9 = 126 Elle devra utiliser 126 carrés.

19 Exercice 4 1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 2. Rendre irréductible la fraction la fraction

20 1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? 682 et 496 sont divisibles par 2 donc ils ne sont pas premiers entre eux. 2. Rendre irréductible la fraction la fraction Pour rendre irréductible la fraction on la simplifie par le PGCD de 682 et 496.

21 Donc PGCD (682 ; 496) = 62 Recherche du PGCD de 682 et Plus grand a Plus petit b a - b

22 = = 8 2. Rendre irréductible la fraction la fraction

23 Exercice 5Vrai ou Faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. 1. est un nombre décimal. 2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de

24 1. est un nombre décimal = 0,12 La partie décimale de 0,12 contient un nombre fini de chiffres après la virgule donc 3 25 est un nombre décimal. VRAI

25 2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 570 et 795 sont divisibles par 5 donc ils ne sont pas premiers entre eux. FAUX

26 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. - Preuve arithmétique - Preuve algébrique

27 Donc la somme est aussi un multiple de La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 1 er cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 0 …0 + ….0 = …0

28 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 2 ème cas : avec un multiples de 5 se terminant par 0 et lautre par 5. …0 + ….5 = …5 Donc la somme est aussi un multiple de 5.

29 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve arithmétique : Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5. 3 ème cas : avec deux multiples de 5 se terminant par 5. …5 + ….5 = …0 (avec une retenue) Donc la somme est aussi un multiple de 5. VRAI

30 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve algébrique : Un multiple de 5 sécrit sous la forme : 5 × … 1 er multiple de 5 : 5 × a = 5a 2 ème multiple de 5 : 5 × b = 5b Somme des 2 multiples de 5 : 5a + 5b

31 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Preuve algébrique : Somme des 2 multiples de 5 : 5a + 5b Pour montrer que la somme est un multiple de 5, on factorise par 5 : 5a + 5b = 5 × (a + b) La somme est bien un multiple de 5. VRAI

32 Exercice 6 La collection Exercice 6 La collection Otto, le fils de M. Coland, collectionne les autocollants. Il demande à ses copains de deviner combien il en possède et leur donne les informations suivantes : - Mon nombre dautocollants est inférieur à 100 ;

33 - Mon nombre dautocollants est impair ; -Mon nombre dautocollants est divisible par 9 ; -Si je les mettais par paquets de 5, il men resterait 3. A vous de trouver combien Otto possède d'autocollants. Expliquez la réponse.

34 - Mon nombre dautocollants est inférieur à 100 ; On cherche un nombre de deux chiffres : … … - Mon nombre dautocollants est impair ; Le chiffre des unités est : 1; 3 ; 5 ; 7 ou 9. …1 - …3 - …5 - …7 - …9

35 -Mon nombre dautocollants est divisible par 9 ; La somme des chiffres doit être divisible par 9 : …1 - …3 - …5 - …7 - … …9 9

36 – Si je les mettais par paquets de 5, il men resterait = 16 × = 12 × = 9 × = 5 × = 1 × = 19 × Donc Otto Colland possède 63 autocollants.

37 Exercice 7 Le coffret de CD Pour les fêtes de fin dannée, la maison de disque Cool music veut lancer un coffret de CD dartistes variés. Pour approvisionner tous les magasins, la maison de disque livrera ses coffrets dans des caisses de 80 cm de longueur, 60 cm de largeur, 40 cm de hauteur.

38 La maison de disque veut réaliser des coffrets cubiques, les plus grands possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse. Quelle doit être larête de ces coffrets et combien de tels coffrets pourra-t-on placer dans chaque caisse ?

39 Les coffrets doivent remplir entièrement la caisse. Donc larête dun coffret doit être un diviseur de la longueur, de la largeur et de la hauteur de la caisse. Arête 80 cm 60 cm 40 cm

40 Les coffrets doivent être les plus grands possibles donc il faut trouver le plus grand diviseur commun à 80, 60 et 40. Il faut donc calculer PGCD (80 ; 60 ; 40) avec la méthode de votre choix. Arête 80 cm 60 cm 40 cm

41 Diviseurs de 80 : 1–2–4–5–8–10–16–20–40–80 Diviseurs de 60 : 1–2–3–4–5–6–10–12–15–20–30–60 Diviseurs de 80 : 1–2–4–5–8–10–20–40 Diviseurs communs à 20, 60 et 80 : 1–2–4–5–8–10–20 Donc PGCD (80 ; 60 ; 40) = 20

42 80 20 = 4 coffrets sur la longueur = 3 coffrets sur la largeur 4 × 3 × 2 = 24 On pourra placer 24 coffrets dans chaque caisse = 2 coffrets sur la hauteur

43 Exercice 8 Les palindromes Les nombres 272 ou sont des palindromes. Cela signifie quen les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre. Déterminer tous les palindromes des nombres de 4 chiffres divisibles par 9.

44 Solutions :

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