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Diviseurs communs à deux entiers Remarque : il sagit détablir la liste des nombres qui divisent à la fois les deux entiers. Exemple : Tous les diviseurs.

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2 Diviseurs communs à deux entiers Remarque : il sagit détablir la liste des nombres qui divisent à la fois les deux entiers. Exemple : Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 M r : Lamloum M ed

3 lusrand ommun P GC DP G C D iviseur Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs communs positifs, le plus grand de ces diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand Commun Diviseur ). Définition: Les diviseurs communs à 24 et 56 sont Exemple : On note P GCD( 24,56) = 8 1, 2, 4 et 8 M r : Lamloum M ed

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5 a.1 er méthode: En déterminant tous les diviseurs communs : Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70. Méthode : On cherche tous les diviseurs de 28 puis de 70 ( en faisant un tableau par exemple ). On choisit le plus grand parmi les diviseurs communs, cest le PGCD Donc PGCD ( 28, 70 ) = 14 M r : Lamloum M ed

6 b. b. 2 éme méthode : la décomposition en produit de facteurs premiers On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers communs aux deux nombres avec le plus petit exposant. Le résultat est le PGCD de ces deux nombres Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772 M r : Lamloum M ed

7 840 Les diviseurs premiers = 2 3 x 3 x 5 x = 2 2 x 3 2 x 7 x 11 et PGCD ( 840, 2772 ) = 2 2 x 3 x 7 = 84

8 c. En utilisant lalgorithme d Euclide : c. 3 éme méthode: En utilisant lalgorithme d Euclide : BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs quand ces nombres sont grands. Exemple : Déterminer PGCD ( 344, 602 ) : 1 ère étape : On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit. 2 ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusquà ce que le reste de la division soit égal à 0. 3 ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul. M r : Lamloum M ed

9 Donc 602 = 344 x Donc 344 = 258 x Donc 258 = 86 x Doù PGCD ( 602, 344 ) = 86 M r : Lamloum M ed

10 3366 = 2737 x = 629 x = 221 x = 187 x = 34 x = 17 x +02 Autre exemple de l algorithme d EUCLIDE PGCD(3366 ; 2737 )=? M r : Lamloum M ed

11 d.4 éme Méthode : Algorithme des soustractions Déterminons PGCD(252,360) - on soustrait le plus grand par le plus petit : 360 – 252 = on soustrait les plus petits entre eux: - on soustrait les plus petits entre eux :144 – 108 = 36 - on soustrait les plus petits entre eux :108 – 36 = … on soustrait les plus petits entre eux :72 – 36 = … on soustrait les plus petits entre eux :36 – 36 = 0 la différence est nulle, on arrête. PGCD(252 ; 360) = 36 (dernière différence non nulle) - = 144 M r : Lamloum M ed

12 lusetit ommun ultiple P PC MP PCM M r : Lamloum M ed

13 Le Plus Petit Commun Multiple est une opération consistant à déterminer le plus petit des multiples communs à 2 ou plusieurs nombres. Exemples Quel est le PPCM de 8 et 12? Déterminons quelques multiples de 8 et 12 : Multiples de 8 :0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, … Multiples de 12 :0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 … Multiples communs à 8 et 12 : le plus petit : 24 PPCM ( 8, 12 ) = 24 Remarque :0 est un multiple de tous les nombres. M r : Lamloum M ed

14 Il existe une autre méthode pour déterminer le PPCM de 2 ou plusieurs nombres. On utilisant les facteurs premiers dun nombre. Exemple Quel est le PPCM de 8 et 12? 1) Décomposer les nombres en facteurs premiers : 8 = 12 = X 2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant et les facteurs non communs ) Multiplier ensemble ses facteurs : PPCM(8:12)=2 3 X 3 = 24 PPCM(8:12)=2 3 X 3 = 24 et M r : Lamloum M ed


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