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Continuité Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité 1)Introduction 2)Continuité a)Définition b)La fonction Partie Entière c)Prolongement par continuité

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Présentation au sujet: "Continuité Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité 1)Introduction 2)Continuité a)Définition b)La fonction Partie Entière c)Prolongement par continuité"— Transcription de la présentation:

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2 Continuité Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité 1)Introduction 2)Continuité a)Définition b)La fonction Partie Entière c)Prolongement par continuité d)Opérations sur les fonctions e)Dérivabilité et continuité 3)Théorème des valeurs intermédiaires 1)Le théorème 2)Théorème de bijection 3)Approximation dune solution dune équation

3 I Introduction Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction De manière heuristique, on dit quune fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer « sans lever le crayon »

4 I Introduction Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction On se rend bien compte avec la fonction f(x)=sin(1/x) que définir ainsi la continuité nest pas satisfaisant sur lintervalle ]0,1]

5 II Continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Continuité en un point On dit quune fonction f est continue en a (a IR) si les trois conditions suivantes sont vérifiées : f est définie en a f(x) admet une limite quand x tend vers a lim x a f(x) = f(a) On dit quune fonction f est continue en a (a IR) si les trois conditions suivantes sont vérifiées : f est définie en a f(x) admet une limite quand x tend vers a lim x a f(x) = f(a) Continuité sur un intervalle Une fonction est continue sur un intervalle lorsquelle est continue en tout point de cet intervalle. a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité

6 II Continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Fonction partie entière Pour tout réel x, il existe un unique entier n, noté E(x), tel que n x < n + 1 On appelle fonction partie entière la fonction noté E qui au réel x de lintervalle [ n ; n+1[ associe lentier E(x)=n Pour tout réel x, il existe un unique entier n, noté E(x), tel que n x < n + 1 On appelle fonction partie entière la fonction noté E qui au réel x de lintervalle [ n ; n+1[ associe lentier E(x)=n Cette fonction admet des discontinuité en tout entier car la limite à droite nest pas égale à la limite à gauche en tout entier. Soit f(x) = E(x 2 ) – x définit sur [0;2]. 1)Tracer la courbe représentative de f. 2)Quels sont les intervalles où f est continue ? Soit f(x) = E(x 2 ) – x définit sur [0;2]. 1)Tracer la courbe représentative de f. 2)Quels sont les intervalles où f est continue ? Soit f(x) = E(x 2 -3x+2) – E(x) avec x [0;2]. 1)Tracer la courbe représentative de f. 2)Quels sont les intervalles où f est continue ? Soit f(x) = E(x 2 -3x+2) – E(x) avec x [0;2]. 1)Tracer la courbe représentative de f. 2)Quels sont les intervalles où f est continue ? E( )= ? E(- )=? E( )= ? E(- )=? a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité

7 II Continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité

8 II Continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Prouvez que la fonction f est continue sur IR Théorème Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carrée et les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. Si f et g sont deux fonctions continues sur I, alors f+g, fg et f n (n entier naturel non nul) sont continues sur I. De plus si g est non nulle sur I alors f/g est continue sur I. Si f est continue sur I et que g est continue sur f(I) alors la fonction composée gof est continue sur I. Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carrée et les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. Si f et g sont deux fonctions continues sur I, alors f+g, fg et f n (n entier naturel non nul) sont continues sur I. De plus si g est non nulle sur I alors f/g est continue sur I. Si f est continue sur I et que g est continue sur f(I) alors la fonction composée gof est continue sur I. a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité

9 II Continuité Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Attention ! La réciproque de ce théorème est fausse. Les fonctions f(x)=|x| et g(x) = x ne sont pas dérivables en 0 et pourtant bien continue en 0. Attention ! La réciproque de ce théorème est fausse. Les fonctions f(x)=|x| et g(x) = x ne sont pas dérivables en 0 et pourtant bien continue en 0. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. Si f est dérivable en a alors f est continue en a. Si f est dérivable sur I alors f est dérivable sur I. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. Si f est dérivable en a alors f est continue en a. Si f est dérivable sur I alors f est dérivable sur I. a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité a)Définition b)Fonction partie entière c)Prolongement par continuité d)Fonctions usuelles et continuité e)Dérivabilitée et continuité

10 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Le théorème des valeurs intermédiaires nest pas forcement vérifié si la fonction nest pas continue. Exemple avec E(x) Le réel c nest pas forcement unique. Exemple avec sin(x) Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que : f(c)=k a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

11 Annexe 2.1

12 Annexe 2.2

13 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Dans ce cas, on dit que f réalise une bijection de I=[a,b] vers J=[f(a),f(b)] (*) Cest-à-dire que tout élément de I a une unique image dans J par f et que tout élément de J a un unique antécédent dans I par f. Dou le nom théorème de bijection. (*) ou J=[f(b),f(a)] Dans ce cas, on dit que f réalise une bijection de I=[a,b] vers J=[f(a),f(b)] (*) Cest-à-dire que tout élément de I a une unique image dans J par f et que tout élément de J a un unique antécédent dans I par f. Dou le nom théorème de bijection. (*) ou J=[f(b),f(a)] Ce théorème est très utile pour prouver quune équation de la f(x) = 0 a une unique solution dans un intervalle bien choisi. Montrer que léquation suivante admet une unique solution dans [-2;3] x 7 + x 3 + 3x = 2 Montrer que léquation suivante admet une unique solution dans [-2;3] x 7 + x 3 + 3x = 2 Théorème de bijection ou de la valeur intermédiaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] alors pour tout réel k [f(a), f(b)] il existe un unique réel c dans [a,b] tel que f(c)=k. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

14 Annexe 2.2

15 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Le théorème précédent peut être généraliser à toutes sortes dintervalles. Montrer que léquation suivante admet une unique solution dans IR : 5x 3 - x 2 + 2x - 3 = 0. Montrer que léquation suivante admet une unique solution dans IR : 5x 3 - x 2 + 2x - 3 = 0. On procède de même avec des intervalles du type [a,b[, ]-,b[, … Théorème de bijection dans intervalle ouvert Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a;b[ alors pour tout réel k ]f(a), f(b)[ il existe un unique réel c dans ]a,b[ tel que f(c)=k. Théorème de bijection dans intervalle ouvert Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;+[ alors pour tout réel k [f(a), lim x+ f(x)[ il existe un unique réel c dans [a,+ [ tel que f(c)=k. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

16 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Par soucis pratique, on conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur lintervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffit pour justifier lexistence et lunicité dune solution dune équation du type f(x)=k. Par soucis pratique, on conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur lintervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffit pour justifier lexistence et lunicité dune solution dune équation du type f(x)=k. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. Exemple : Si on obtient un tel tableau de variation, on peut écrire : « Daprès le tableau de variation et en utilisant le théorème de bijection dans les intervalles ]-,-1[ et [1,+ [ que léquation f(x)=-0,5 admet uniquement 2 solutions. »

17 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Le théorème précédent est très pratique mais ne permet pas de trouver la solution de léquation. Vous pouvez pour cela obtenir une valeur approchée de cette solution à laide de la calculatrice. 1 ère méthode : à laide du tableur. 1 ère méthode : à laide du tableur. Saisir la fonction puis F5 pour SET Mettre les paramètres Exit pour sortir F6 pour Table Descendre dans le tableau pour trouver entre quelles valeurs est la solution. Puis Exit pour revenir au menu La solution se situe donc entre 0,589 et 0,590 ce qui permet de dire que 0,59 à 0,01 près On peut remarquer quun pas de 0,001 à la calculatrice permet dobtenir une précision de seulement 0,01 pour la solution. En effet, il est impossible sans plus de précision de savoir si est plus près de 0,589 ou de 0,590 … a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

18 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 2 ème méthode : à laide du tracé graphique. 2 ème méthode : à laide du tracé graphique. Le principe est simple : - On trace la fonction f(x) = x 7 + x 3 + 3x -2 sur la calculatrice - On fait plusieurs zoom (à laide de la fonction zoom box) à lendroit où la courbe coupe laxe des abscisses. Le principe est simple : - On trace la fonction f(x) = x 7 + x 3 + 3x -2 sur la calculatrice - On fait plusieurs zoom (à laide de la fonction zoom box) à lendroit où la courbe coupe laxe des abscisses. Ensuite on affiche la fenêtre V-Window pour regarder entre quelles valeurs la solution se situe La solution se situe donc entre 0,5899 et 0,5900 ce qui permet de dire que 0,590 à 0,001 près Si la précision nest pas satisfaisante, on refait des zoom comme précédemment. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

19 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 3 ème méthode : outil calculatoire de la calculatrice 3 ème méthode : outil calculatoire de la calculatrice Les calculatrices étant de plus en plus sophistiquées, il existe très souvent des fonctions intégrées qui permettent de donner des approximations des solutions dune équation. Reste à lire le mode demploi pour savoir quelle précision donne la calculatrice sur ce type de calcul a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq.

20 II Théorème des valeurs intermédiaires Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Méthode de Newton a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. a)Le théorème b)Théorème de bijection c)Approximation de la solution dune éq. Par dichotomie Il existe dautres techniques plus sophistiqués et complexes Mais quel procédé peut utiliser une calculatrice pour trouver la solution approchée dune solution ?

21 Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité Annexe : texte officiel


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