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John Napier, dit Neper. Au cours du XVI e et XVII e les calculs étaient devenus d une effroyable compléxité : lastronomie, la navigation, le commerce.

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1 John Napier, dit Neper

2 Au cours du XVI e et XVII e les calculs étaient devenus d une effroyable compléxité : lastronomie, la navigation, le commerce faisait intervenir des grands nombres, des calculs trigonométriques, des calculs de puissances et de racines n-ièmes. remplacer des multiplications Lidée directrice, pour simplifier les calculs, fut de remplacer des multiplications par des additions par des additions à l aide d une table de correspondances. John NapierNeper John Napier, plus connu sous le nom de Neper, né en 1550 et mort en 1617, fut un théologien et mathématicien écossais. Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l'usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout mis au point logarithmes la première table de...logarithmes. Il s'attacha à définir le logarithme d'un sinus en s'appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique. Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio, fut lue par Henry Briggs qui poursuivit son œuvre. Les tables de logarithmes ont été utilisées jusquà la fin des années 1960, avant larrivée des calculatrices !

3 Activité 1 : Où lon retrouve la méthode d Euler... Pour ceux qui apprécient cette méthode … la voici encore ! Rappelons que la méthode dEuler permet de découvrir une fonction en ne connaissant que certains renseignements relatifs à la dérivée. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa courbe représentative C admet une tangente en chacun de ses points A 0 (x 0 ; f (x 0 )) qui permet dobtenir des valeurs approchées de f (x) au voisinage de x 0. On a, pour h voisin de 0 : Soit h un réel strictement positif assez petit. On pose y 0 = f (x 0 ). En partant dun point A 0 (x 0 ; f (x 0 )) pour lequel f (x 0 ) est non nul, on pose : x 1 = x 0 + h et on construit le point M 1 (x 1 ; y 1 ) sur la tangente T 0 à la courbe C en A 0. On a alors : y 1 = y 0 + f (x 0 ) h. x 2 = x 1 + h et on construit le point M 2 (x 2 ; y 2 ) sur la parallèle T 1 à la tangente T 1 à la courbe C en A 1 (x 1 ; f (x 1 )). On a alors : y 2 = y 1 + f (x 1 ) h. et ainsi de suite … On construit une suite de points M n (x n ; y n ). En joignant les points A 0, M 1, M 2, …, on obtient la courbe représentative dune fonction g qui est affine par morceaux.

4 Nous avons découvert la fonction exponentielle comme solution de léquation différentielle y = y qui vérifie y (0) = 1. Intéressons nous maintenant à la primitive primitive sur lensemble des réels positifs non nuls de la fonction inverse qui sannule en 1 … A laide de la méthode dEuler, on peut justifier existence lexistence dune telle fonction. Soyons fou … Appelons logarithme népérien et notons ln cette fonction. Elle est donc la primitive sur R +* R +* de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0.

5 Activité 2 : La quadrature de l hyperbole... Nous allons nous intéresser aux aires de 2 portions de plans situées sous lhyperbole. ab 4 a 4 b a et b sont deux réels strictement positifs. Pour faciliter la compréhension, on a choisi un coefficient égal à 4 ; mais il en va se même pour les autres réels positifs. Daprès le diaporama de Monsieur De Rieux.

6 On peut approcher ces deux aires par des aires de rectangles. ab 4 a 4 b Or ces deux rectangles ont même aire. En effet :

7 On va maintenant remplacer chaque rectangle par 2 rectangles de même aire aire. Les aires des rectangles sous lhyperbole situés au dessus de [a [a ; c] et de [c [c, b] sont égales à : a cb 4 a 4 c 4 b Il faut choisir pour c la moyenne géométrique :

8 En effet : On a donc bien obtenu 2 rectangles de même aire au dessus de [a [a ; b]. On démontre de la même façon que les 2 rectangles au dessus de [4 a ; 4 b]b] sont daires égales entre elles, mais aussi égales à laire des rectangles précédents. Les quatre rectangles ainsi obtenus ont donc tous la même aire.

9 A laide de ces 4 rectangles, on approche les aires sous la courbe avec plus de précision. On peut ensuite répéter le procédé au dessus de chaque nouvel intervalle, et ainsi de suite… Ainsi, on peut conjecturer conjecturer que laire de la portion de plan sous lhyperbole située au dessus de [a [a ; b] est égale à laire de la portion de plan sous lhyperbole située au dessus de [4a ; 4b]. On peut généraliser pour laire de la portion de plan sous lhyperbole située au dessus de [ka ; kb], où k est un réel strictement positif. ab ka kb Deux aires égales !

10 Soyons fou … Notons ln (ab) laire de la portion de plan sous lhyperbole située au dessus de [1 ; ab]. On a ln (ab) qui est la somme des aires de portions de plan situées au dessus de [1 ; a] et de [a [a ; ab]. ln (a b) = ln (a) + ln (b) 1a a b Or cette dernière aire est égale à celle située au dessus de [1 ; b]. Ainsi :

11 Activité 3 : Où lon réutilise les primitives... A la fin de lactivité 1, nous avons défini la fonction logarithme népérien, notée ln, la primitive sur ]0 ; + [ + [ de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0. Pour x ]0 ; + [ f (1) = 0

12 Montrons dabord que cette fonction vérifie bien la propriété trouvée à la fin de lactivité 2. ln (a b) = ln (a) + ln (b) Pour tout a et b strictement positifs : Nous devons donc montrer que : pour tout a et b strictement positifs : f (a b) = f (a) + f (b). Pour tout a > 0, la fonction h : x f (a x) est dérivable sur ]0 ; + [ composée comme composée de fonctions dérivables et on a : Les fonctions h et f sont donc deux primitives de la même fonction sur ]0 ; + [ Ainsi : h (x) = f (x) + k. Or comme h (1) = f (a) = f (1) + k, et que f (1) = 0, on obtient k = f (a) et ainsi pour tout x ]0 ; + [ : h (x) = f (a x) = f (x) + f (a). La propriété est donc prouvée.

13 A laide de cette propriété, nous pourrons montrer dautres égalités : Pour tout a et b strictement positifs, pour tout entier n non nul :

14 Activité 4 : Mais quel est le lien avec lexponentielle... Rappel : La fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction carrée sur [0 ; + [. [0 ; + [ x x 2 [0 ; + [ x x On a, pour tout réel x positif : Et graphiquement, la courbe de la fonction racine carrée est la symétrique par rapport à laxe y= xx xx de la courbe de la fonction carrée sur [0 ; + [.

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16 Soit f la fonction logarithme népérien. Pour x ]0 ; + [ f (1) = 0 La fonction h = f o exp : x f ( exp (x) ) est dérivable sur R composée comme composée de fonctions dérivables et on a : Ainsi : h (x) = x + k. Or comme h (0) = f (e 0 ) = f (1) = 0, on a k = 0 et h (x) = x. Pour tout réel x :

17 La fonction logarithme népérien est donc la f ff fonction réciproque de la fonction exponentielle. R ]0 ; + [ exp ln

18 y = exp (x) y = exp (x) y = ln (x) y = ln (x)

19 Résumé : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0. Pour x ]0 ; + [ f (1) = 0 ln (a b) = ln (a) + ln (b) Pour tout a et b strictement positifs : Cest déjà pas mal pour aujourdhui !

20 Logarithme et Exponentielle sont dans un bar. Ils commandent chacun une bière. Lequel paie ? Exponentielle parce que Logarithme népérien !!! Pour finir ce diaporama, un peu dhumour...


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