La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la méthode dEuler Exemple 2: la racine carrée: Approximation.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la méthode dEuler Exemple 2: la racine carrée: Approximation."— Transcription de la présentation:

1 1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la méthode dEuler Exemple 2: la racine carrée: Approximation par lalgorithme de Héron

2 2 Exemple 1: la fonction exponentielle: Faire le lien avec la physique: y(x) = k.y(x) fonction réciproque du logarithme solution de l'équation différentielle: y ' = y Introduction

3 3 Exemple dapplication en physique N: nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux N : est une grandeur qui varie en fonction du temps: N(t) On a : Soit: N(t) = N(t)

4 4 La méthode dEuler pour y=f(x,y) et y(x 0 )=y 0 On subdivise lintervalle en n parties : x k =x 0 +h.k, avec h=(x-x 0 )/n En x k, on définit y k : Premier pas: en x 1, on pose: y 1 = y 0 +h. y(x 0 ) (y 1 :valeur en x 1 de la tgte à la courbe représentative en (x 0,y 0 )) On approxime la courbe représentative de la fonction y par sa tangente en x 0 Itération: Étape k:y=f(x,y) avec y(x k-1 )=y k-1, y k =y k-1 +h.f(x k-1,y k-1 ) Graphiquement: approximation affine par morceaux obtenue en reliant les points (x k,y k ).

5 5 x k = x 0 + h.k y k =y k-1 + h. f(x k-1,y k-1 ) au lieu de y(x k-1 ) Fig extraite du site:

6 6 La fonction exponentielle: y=y et y(0)=1 Soit x un réel. On cherche une approximation de y(x) Sur [0,x], on prend le pas h=x/n, pour n entier On obtient:x k =kx/n y k =y k-1 +y k-1 x/n k=1,…,n ou encore: y k = (1+h).y k-1 k=1,…,n soit, par récurrence: y n = (1+x/n) n La valeur y(x) cherchée est donc la limite de (y n ) n où y n =(1+x/n) n. On montre que les suites (v n ) n et (z n ) n où z n =(1-x/n) -n ) n sont adjacentes et convergent vers la même limite, notée : exp(x).

7 7 Approximation de exp(x) à laide dun tableur Calculer les (x k,y k ), Visualiser la courbe joignant les points (x k,y k ) Comparer avec la courbe de lexponentielle, changer le pas h... A chaque pas, la feuille de calcul affiche: –La valeur de x k –La valeur de y k –Lerreur (différence entre y k et y(x k ))

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12 Exemple 2: la fonction racine carrée Algorithme de Héron dAlexandrie Soit A>0, on cherche à approcher Premier pas: On choisit e 1: estimation de la racine alors la racine est entre e 1 et a 1 = A/e 1 Itération: e 2 =(a 1 +e 1 )/2 ainsi de suite: e n+1 =1/2(e n +A/e n ) La suite (e n ) n converge très rapidement vers (la pente de la tangente de la courbe représentative de f(x)= tend vers 0 qd x tend vers )

13 13 Résolution avec le tableur

14 14 Documents bibliographiques Arzarello F, Bazzini, Chiappini: 2001, A model for analysing algebraic processes of thinking, Perspectives on school algebra,Vol.22 Kluwer Academic Publisher Capponi B. :1999, Le tableur pour le collège, un outil pour lenseignement des mathématiques, Petit x n°52, IREM de Grenoble, pp.5-42 Capponi B. :2000, Tableur, arithmétique et algèbre, Lalgèbre au lycée et au collège, Actes des journées de formation de formateurs 4-5juin1999, IREM de Montpellier, pp Rojano T.: 1996, Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment, Approaches to Algebra,, Kluwer Academic Publisher, pp Rousselet Michel : 1999, Tableur et mathématiques au collège, CNDP Rousselet Michel : 1998, Avec un tableur :quel est le prix de revient dune page imprimée ?, Bulletin APMEP n°419,


Télécharger ppt "1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la méthode dEuler Exemple 2: la racine carrée: Approximation."

Présentations similaires


Annonces Google