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Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des.

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1 Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année de luniversité à cet objet de savoir Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset 29 Octobre 2004

2 2 Plan de exposé Problématique Problématique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité Perspectives Perspectives

3 3 Mathématiques… Physique… F(x, y(x)), y'(x), …,y (n) (x)= Problématique

4 4 Statut du concept déquation différentielle dans les deux disciplines Objet détudeMathématiques ?Physique 1.2. Problématique

5 5 Les équations différentielles en physique t=? Exemple: 3 Exemple: 3 q'(t)+(1/RC)q(t)=0 i(t) C R E Question/ problème Réponse/ validation Système réel Modèle Étape 1: Définition du système à étudier Étape 2: Construction dun modèle et travail dans le modèle construit Étape 3: Retour au système Démarche théorique Démarche expérimentale

6 6 Et lapprenant? Que représente, pour létudiant, lobjet équation différentielle? Comment un apprenant perçoit-il les différents statuts de lobjet équation différentielle? 1.4. Problématique

7 7 Reformulation de lobjet détude dans le cadre de la théorie anthropologique de la didactique Reformulation de lobjet détude dans le cadre de la théorie anthropologique de la didactique Lensemble des rapports institutionnels aux équations différentielles (de létudiant) Linstitution de lenseignement des mathématiques Linstitution de lenseignement de la physique Dautres institutions Rapport personnel de létudiant à lobjet équation différentielle 1.5. Problématique

8 8 Questions de recherche Effets de ces choix sur lapprentissage de ce concept. Choix didactiques de lenseignement des ED en mathématiques. Q1 Rôle joué par les équations différentielles, pour les étudiants: modèle ou outil? Caractéristiques du processus de modélisation à laide des ED. Q Problématique Rapport institutionnel Rapport personnel

9 9 Dans lexposé… Problématique Problématique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique

10 10 Rapport institutionnel à lobjet équation différentielle Décrire le rapport institutionnel de létudiant à un objet de savoir cest… …déterminer ce que cet étudiant doit connaître à propos de cet objet de savoir Lenseignement du concept déquation différentielle

11 11 Comment caractériser le rapport institutionnel ? 2. Approche praxéologique Approche écologique Outil pour lanalyse de laccès au rapport institutionnel 2.2. Lenseignement du concept déquation différentielle Caractériser les rapports institutionnels par les matériaux scolaires 1. En Terminale S: Manuels scolaires En 1 ère année de DEUG : -polycopiés des cours -feuilles de travaux dirigés -notes dobservation des classes Mathématiques Physique

12 12 Ce qui est attendu de létudiant… en mathématiques Terminale DEUG 2.3. Lenseignement du concept déquation différentielle Changement de registre (3%) Modélisation (13%) Résolution algébrique (84%) Recherche ED (5%) Changement de registre (9%) Modélisation (7%) Généralité (linéarité, ordre …) (8%) Résolution algébrique (71%) Résolution algébrique (84%) Résolution algébrique (71%)

13 13 Choix didactiques de lenseignement des ED en mathématiques Q1 Lenseignement des équations différentielles est caractérisé par la prédominance des méthodes algébriques.

14 14 Ce qui est attendu de létudiant… en physique Terminale DEUG 2.4. Lenseignement du concept déquation différentielle Étape 2 Construction du modèle « différentiel » (21%) Travail dans le modèle (79%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel » (33%) Travail dans le modèle (67%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(21%) Travail dans le modèle (79%) Étape 3 Retour au réel (0%) Étape 1 Définition du système (0%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(33%) Travail dans le modèle (67%) Étape 3 Retour au réel (0%) Étape 1 Définition du système (0%)

15 15 Caractéristiques du processus de modélisation à laide des ED? Q2 Le processus de modélisation à laide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.

16 16 Dans lexposé… Problématique Problématique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité

17 17 Rapports personnels des étudiants à lobjet équation différentielle- Dispositif expérimental En mathématiquesEn physique Deux tests -Étude sur les généralités des ED -Étude qualitative -Étude dun circuit électrique modélisé par une ED -Étude expérimentale -Étude théorique 3.1. Lapprentissage du concept déquation différentielle

18 18 Conceptions des étudiants 3.2. Lapprentissage du concept déquation différentielle Exercice proposé 47 étudiants 13 étudiants ont des conceptions correctes 34 étudiants 5 étudiants exigent forcément une fonction et lune de ses dérivées dans une ED 21 étudiants réduisent toutes les ED aux linéaires 3 étudiants associent le signe de dérivation aux ED

19 19 Viabilité dune autre approche Etudier le comportement de la fonction solution y(x) quand x tend vers + pour léquation différentielle : y' (x)=-y(x)+g(x) satisfaisant y(2)=4. Technique qualitative Techniquealgébrique Tracer le graphique de la fonction g(x) définie par g(x)=3 si 0 x 1 et g(x)=2e 1-x + 1 si x Lapprentissage du concept déquation différentielle

20 20 Zone I Zone II - Définir le signe de la première fonction dérivée de y(x) : y'(x)= -y(x) +2e 1-x +1 - Construire un tableau de variation 2e 1-x +1 y'(x) y(x) +- Zone II Zone I

21 21 Implications de la prédominance de la résolution algébrique Technique qualitative (aucun étudiant) Technique algébrique (45 étudiants) 3.5. Lapprentissage du concept déquation différentielle Groupe 1 15 étudiants Groupe 2 13 étudiants Groupe 3 17 étudiants 10 réponses correctes correctes

22 22 Implications de la "modélisation algorithmisée" t(ms) (t 0 ) (t 0 ; (u(t 0 )) u(volt) 1 i(t) L,r R RgRg E Etablir léquation différentielle décrivant la courbe ci-dessus sachant que le paramètre est constant (léquation de la tangente à une courbe quelconque en un point donné, par exemple t 0 est donnée par :f(t)-f(t 0 )=f(t 0 )(t-t 0 )). Etablir léquation différentielle qui représente le circuit ci-dessus à linstant t à partir des lois de lélectrocinétique. Justifier chaque étape de votre raisonnement Lapprentissage du concept déquation différentielle a " Trouver la courbe WW telle quen traçant la tangente WC jusquà laxe x, XC soit toujours égale à un même segment constant a. » (Debeaune 1638)

23 23 Réponses obtenues Démarche expérimentale (24 étudiants) Démarche théorique (49 étudiants) 2 réponses correctes f(t)+(1/ )f(t)=0 22 réponses erronées f(t 0 )+(1/ )f(t 0 )=0 f(t 0 )+(1/ )f(t 0 )=y 9 réponses erronées 40 réponses correctes L.i'(t)+(R+r)i(t)= Lapprentissage du concept déquation différentielle Démarche théorique (10 étudiants)

24 24 Le concept déquation différentielle a-t-il du sens pour létudiant en physique? Le concept déquation différentielle a-t-il du sens pour létudiant en physique? f(t)=t.e t est-elle la solution de léquation différentielle traduisant le fonctionnement dun circuit électrique RL? (u(t)+(1/ )u(t)=0 /f(t)+(1/ )f(t)=0)) La tension existante aux bornes de la résistance dun circuit RL peut-elle sannuler en un temps fini ? Pourquoi ? 76% Etudiant: "Pour que la tension soit nulle à la résistance il faut que i(t) soit nul. Pour cela il faut que e - ((r+R)t)/L soit nul; ce qui nest possible que pour t=. Donc la tension ne peut pas être nulle en un temps fini, mais elle sera très proche de 0". 70% 3.8. Lapprentissage du concept déquation différentielle Maths ou Physique

25 25 Choix institutionnels… et létudiant… Le processus de modélisation à laide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique. Lenseignement des équations différentielles est caractérisé par lapplication des méthodes algébriques. Difficultés à comprendre et à connaître « le concept déquation différentielle », Cloisonnement entre les deux disciplines: Difficultés à mobiliser et à intégrer les connaissances relatives à lobjet équations différentielles, Limitation aux systèmes familiers du sens physique aux équations différentielles. Difficultés à donner du sens physique aux équations différentielles.

26 26 Dans lexposé… Problématique Problématique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des choix didactiques de lenseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité Étude des conséquences de ces choix sur lapprentissage du concept chez les étudiants de la première année de luniversité Perspectives Perspectives

27 27 Perspectives pour une ingénierie 4. Perspectives Systèmes dynamiques Construction du modèle Équation différentielle Résolution mathématique Interprétation Démarche expérimentale Résolution Qualitative et/ou numérique Résultat mathématique

28 28 Merci…

29 29 Théorie Modèle Champ expérimental de référence Validation Point de vue du physicien A. Tiberghien, 1994 Principes, lois… Formalisme: relations entre quantités physiques… Mesures, dispositifs expérimentales…


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