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Activité : Ajustement affine Académie Nancy-Metz Série STG Avril 2006 Terminale STG Activité : Ajustement affine Présentation dune activité montrant lutilisation.

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1 Activité : Ajustement affine Académie Nancy-Metz Série STG Avril 2006 Terminale STG Activité : Ajustement affine Présentation dune activité montrant lutilisation des TICE en terminale STG sous différentes formes pédagogiques

2 Activité : Ajustement affine Objectifs : Prérequis : Durée : 3 séances dune heure Introduire la méthode des moindres carrés Faire travailler les élèves sur un tableur Savoir déterminer une équation de droite Savoir représenter un nuage de points

3 Activité : Ajustement affine Compétences travaillées : Réaliser un ajustement affine par une méthode graphique Réaliser un ajustement affine par les moindres carrés à laide dun tableur et dune calculatrice Utiliser un tableur : Écrire une formule simple avec un adressage relatif ou absolu et la recopier Utiliser un ajustement pour faire une extrapolation Découvrir dautres courbes de tendance

4 Activité : Ajustement affine Première partie A propos dun problème du bac, série ES, Amérique du Nord juin Le but de lexercice est dextrapoler le nombre dutilisateurs du téléphone portable pour le mois de mars Travail sur papier et sur tableur à laide dun vidéoprojecteur

5 Activité : Ajustement affine Animation : Le nombre dutilisateurs de téléphone portable en France est donné par le tableau suivant : celle-ci se fait à laide dun vidéoprojecteur. Le professeur présente lactivité à lécran, fait participer les élèves et leur demande de prendre des notes sur le contenu de lactivité et sur les méthodes dutilisation du tableur.

6 Activité : Ajustement affine 1. Compléter sur tableur les colonnes B et C du tableau ci- dessous. Quelle formule faut-il écrire dans les cases B9 et C9 pour obtenir le rang moyen et la moyenne du nombre dutilisateurs ?

7 Activité : Ajustement affine 2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x i ; y i ). Tracer sur ce même graphique une droite (D), déquation y = ax + b, en choisissant le coefficient directeur a et lordonnée à lorigine b de façon à ajuster graphiquement la droite au nuage de points. Déterminer une équation de la droite dessinée.

8 Activité : Ajustement affine Le professeur fait ce même travail à laide du tableur, en expliquant aux élèves le procédé, en faisant notamment compléter les cellules F3 et F4 par les coefficients a et b de la droite et les cellules F6 et F7 par les coordonnées de deux points de la droite. TABLEURTABLEUR Il sagit ensuite de proposer un « concours » aux élèves : lequel obtiendra la meilleure droite dajustement, le critère étant de rendre la « distance » totale des points du nuage à la droite minimale. Pour cela on est amené à calculer la somme S = Les élèves font la représentation du nuage de points et le tracé de la droite dajustement sur papier, dans un repère orthonormal, dunité 0,5cm.

9 Activité : Ajustement affine 3. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule D2 qui tirée vers le bas effectue les calculs des carrés ? Quelle formule faut-il écrire dans la cellule D9 pour obtenir la somme S ? TABLEUR Les élèves viennent proposer leur droite dajustement. Son tracé est projeté, ainsi que la valeur de S. On obtient ainsi un « record » de la somme S minimale !

10 Activité : Ajustement affine 4. Le professeur fait ajouter au graphique une « courbe de tendance linéaire » et affiche son équation. On refait le calcul de S pour cette droite, et on fait constater aux élèves que leur record et battu. Il explique que la droite ainsi obtenue est appelée droite dajustement de y en x par la méthode des moindres carrés. TABLEUR En utilisant la droite obtenue à laide du tableur, quel est le nombre dutilisateurs que lon pouvait prévoir pour le mois de mars 2000 ?

11 Activité : Ajustement affine Le professeur explique aux élèves comment on obtient une droite dajustement par la méthode des moindres carrés sur calculatrice. Pour cela il peut distribuer une fiche pour chaque marque de calculatrice présentant la démarche à suivre pour entrer les données et obtenir léquation de la droite dajustement. Cest loccasion pour le professeur de faire la synthèse de la leçon sur lajustement affine. Deuxième partie Travail sur calculatrice

12 Activité : Ajustement affine 1. Utiliser la calculatrice pour déterminer léquation de la droite dajustement au nuage de points de la première partie (nombre dutilisateurs de téléphone portable en France). 2. Comparer avec le résultat obtenu à laide du tableur.

13 Activité : Ajustement affine 1. Reprendre sur tableur le tableau ci- joint, représenter le nuage de points et tracer la droite dajustement Troisième partie Les élèves devant un ordinateur et utilisation du vidéoprojecteur

14 Activité : Ajustement affine 2. On rappelle que dans la première partie on a utilisé comme modèle dévolution du nombre dutilisateurs du téléphone portable la droite dajustement affine. On a ainsi prévu que le nombre dutilisateurs en mars 2000 serait égal à environ 17,7 millions. Or le nombre réel dutilisateurs en mars 2000 a été de 22,6 millions. Calculer lécart entre la prévision et la réalité. Cet écart laisse à penser que le modèle affine nest pas satisfaisant. Nous allons examiner dautres modèles possibles à laide du tableur. Le professeur présente à laide du vidéoprojecteur les tracés de courbes de tendance ( linéaire, polynomiale dordre 2, exponentielle…) et fait réagir les élèves sur la pertinence des différents modèles pour cet exemple. TABLEURTABLEUR

15 Activité : Ajustement affine On se propose maintenant danalyser la progression du nombre dutilisateurs du portable à laide dune suite 1. Calculer le taux dévolution global du nombre dutilisateurs du téléphone portable en France entre décembre 1996 et mars En déduire le taux mensuel moyen entre ces deux dates. Quatrième partie Les élèves devant un ordinateur et utilisation du vidéoprojecteur

16 Activité : Ajustement affine 2. On considère la suite géométrique u de premier terme u 0 = 2,5 et de raison q = 1, a. Quelle formule faut-il écrire en D3 pour calculer les termes u n de la suite u en recopiant cette formule vers le bas ? b. Si on considère que le nombre dutilisateurs du portable en France a évolué au même rythme au-delà du mois de mars 2000, on peut estimer que ce nombre, au mois de rang n, est environ égal au terme u n de cette suite.

17 Activité : Ajustement affine En utilisant ce modèle dévolution : Quel est le nombre dutilisateurs que lon pouvait prévoir pour le mois de mars 2001 ? TABLEUR A partir de quelle date pouvait-on prévoir plus de 35 millions dutilisateurs de téléphone portable en France ?

18 Activité : Ajustement affine 3. Représenter la suite u sur le même graphique que le nuage de points. TABLEURTABLEUR On a représenté avec un grapheur : le nuage de points lajustement affine par les moindres carrés la courbe de tendance « polynôme du second degré » la courbe de tendance exponentielle la suite u. Prolongement possible : comparaison des différents modèles dévolution rencontrés

19 Activité : Ajustement affine Remarques concernant cette activité : Travail « à la maison » : on peut gagner du temps précieux en cours en faisant réaliser certaines parties de lactivité à la maison. Par exemple la réalisation sur papier du nuage de points, voir la préparation sur tableur Travail sur un modèle : il est important de signaler aux élèves que lon travaille dans le cadre de modèles Droite dajustement : bien préciser le sens de la consigne « ajuster la droite au nuage »

20 Activité : Ajustement affine Utilisation de la fonction exponentielle : tout dépend si on a déjà introduit la fonction exponentielle. Si ce nest pas le cas on se contentera de signaler aux élèves lexistence du modèle exponentiel dévolution, et cela pourra servir dintroduction aux fonctions exp. Point moyen : on fera remarquer que la droite dajustement obtenue par le tableur passe par le point moyen. Fiche élèves Fiche professeur


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